Список рекомендованной литературы

Тема: Перпендикулярность прямой и плоскости

Урок: Перпендикулярные прямые в пространстве. Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости

Тема урока

На этом уроке мы рассмотрим перпендикулярность прямых в пространстве, перпендикулярность прямой и плоскости и параллельные прямые, которые перпендикулярны к плоскости.

Определения перпендикулярности прямых в пространстве

Определение. Две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.

Обозначение. .

Рис. 1.

Рассмотрим прямые а и b. Прямые могут пересекаться, скрещиваться, быть параллельными. Для того, чтобы построить угол между ними нужно выбрать точку и через нее провести прямую , параллельную прямой а, и прямую , параллельную прямой b. Прямые и пересекаются. Угол между ними и есть угол между прямыми а и b. Если угол равен 90°, то прямые а и b перпендикулярны.

Лемма

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

Доказательство:

Пусть даны две параллельные прямые а и b, и прямая с,причем . Нужно доказать, что .

Возьмем произвольную точку М. Через точку М проведем прямую , параллельную прямой а и прямую , параллельную прямой c (рис. 2). Тогда угол АМС равен 90°.

Рис. 2.

Прямая b параллельна прямой а по условию, прямая параллельна прямой а по построению. Значит, прямые и b параллельны.

Имеем, прямые и b параллельны, прямые с и параллельны по построению. Значит, угол между прямыми b и с – это угол между прямыми и , то есть угол АМС, равный 90°. Значит, прямые b и с перпендикулярны, что и требовалось доказать.

Определение перпендикулярности прямой и плоскости

Определение. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Обозначение. .

Рис. 3.

Свойство

Если , то . (пересечение а и )

Доказательство:

Напоминание. Прямая и плоскость или пересекаются в одной точке, или параллельны, или прямая лежит в плоскости.

Если прямая а параллельна плоскости (рис. 4), то в плоскости можно провести прямую , параллельную прямой а. Получаем противоречие с определением перпендикулярности прямой и плоскости.

Если прямая а лежит в плоскости (рис. 5), то в плоскости можно провести прямую , параллельную прямой а. Опять получаем противоречие с определением перпендикулярности прямой и плоскости.

Значит, если прямая а перпендикулярна плоскости , то она пересекается с ней.

Рис. 4

Рис. 5

Теорема

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перепедикуляная к этой плоскости.

Доказательство.

Пусть прямая а параллельна прямой а₁. Прямая а перепендикулярна плоскости . Докажем, что и прямая а₁ перпендикулярна плоскости .

Прямая а перпендикулярна плоскости . Значит, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Прямая х лежит в плоскости , значит, (см. рис. 6).

Рис 6.

Прямая а перпендикулярна прямой х, а прямая а₁ параллельна прямой а. Значит, прямая а₁ перпендикулярна прямой х по лемме. Прямую х мы выбирали произвольно. Значит, прямая а₁ перпендикулярна любой прямой в плоскости , то есть прямая х перпендикулярна плоскости , что и требовалось доказать.

Обратная теорема

Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

Доказательство.

Пусть прямая а перепендикулярна плоскости и прямая b перепендикулярна плоскости . Докажем, что прямая а параллельна прямой b.

 

 

Рисунок 7.

Предположим, что прямая b не параллельна прямой а. Через точку М прямой b проведем прямую , параллельно прямой а (рис. 8).

Прямые и а параллельны, прямая а перпендикулярна плоскости . По теореме, прямая также перпендикулярна плоскости .

Прямые b и пересекаются, а значит через них проходит некоторая плоскость. Пусть эта плоскость пересекает плоскость по прямой с. Тогда прямая перпендикулярна прямой с, так как прямая с лежит в плоскости , а прямая ей перпендикулярна.

Но тогда в плоскости, определенной пересекающимися прямыми b и через точку М проходят два перпендикуляра b и к прямой с. Получаем противоречие. Значит, прямая b параллельна прямой а, что и требовалось доказать.

Рис. 8.

Задача 1

Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ (рис. 9). Докажите, что и , если .

Рис. 9.

Доказательство.

ABCD – прямоугольник, так как в параллелограмме ABCD угол .

Прямая В₁С₁ параллельна прямой ВС, а прямая ВС перпендикулярна прямой DС. Значит, по лемме, прямая DС перпендикулярна В₁С₁.

Прямая АВ перпендикулярна прямой ВС, а ВС параллельна прямой A₁D₁. Значит, по лемме, прямая АВ перпендикулярна A₁D₁. Задача доказана.

Рассмотрим другое доказательство факта, что .

Угол DCB равен углу между прямыми DC и В₁С₁. Угол DCB – прямой. Значит, прямые DС и В₁С₁ перпендикулярны.

Задача 2

В тетраэдре ABCD - . Докажите, что , где М и N середины ребер АВ и АС.

Рис. 10.

Доказательство.

MN – средняя линия треугольника АВС. По свойству средней линии, ВС параллельна MN.

Прямые ВС и MN параллельны, а прямые ВС и AD перпендикулярны. Значит, по лемме, прямые AD и MN перпендикулярны, что и требовалось доказать.

Итоги урока

Итак, мы рассмотрели перпендикулярность прямых в пространстве, перпендикулярность прямой и плоскости, перпендикулярность к плоскости параллельных прямых. На следующем уроке мы рассмотрим признак перпендикулярности прямой и плоскости.

 

Список рекомендованной литературы

1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.

2. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.

3. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е издание, стереотип. – М.: Дрофа, 008. – 233 с.:ил.