2020-08-05
411Факультет информатики
Кафедра информационных систем
ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ
для студентов 1 курса (2 семестр) специальностей: «Информатика», «Профессиональное обучение (экономика и управление)»
дневного отделения
тема «Поверхности 2-го порядка
Составила ст. преподаватель
кафедры ИС, к. ф.-м. н
Арапина-Арапова Е.С.
2008 г.
Индивидуальное задание
для студентов 1 курса (2 семестр) специальностей «Информатика», «Профессиональное обучение (экономика и управление)»
тема «Поверхности 2-го порядка».
I. Задания.
Установить тип поверхности и построить ее.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
| 6. 
7. 
8. 
9. 
|
(Значения чисел a, b, c, p смотреть в таблице ниже. Выполняется задание по вариантам. Номер варианта выбирается по списку в журнале).
Варианты
| Номер варианта | a | b | c | p | Номер варианта | a | b | c | p | |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 2 | 21 | 4 | 3 | 2 | 2 | |
| 2 | 2 | 4 | 3 | 2 | 22 | 4 | 2 | 3 | 2 | |
| 3 | 4 | 3 | 2 | 2 | 23 | 3 | 4 | 2 | 2 | |
| 4 | 4 | 2 | 3 | 2 | 24 | 3 | 2 | 4 | 2 | |
| 5 | 3 | 4 | 2 | 2 | 25 | 3 | 4 | 5 | 1 | |
| 6 | 3 | 2 | 4 | 2 | 26 | 3 | 5 | 4 | 1 | |
| 7 | 3 | 4 | 5 | 1 | 27 | 4 | 3 | 5 | 1 | |
| 8 | 3 | 5 | 4 | 1 | 28 | 4 | 5 | 3 | 1 | |
| 9 | 4 | 3 | 5 | 1 | 29 | 5 | 3 | 4 | 1 | |
| 10 | 4 | 5 | 3 | 1 | 30 | 5 | 4 | 3 | 1 | |
| 11 | 5 | 3 | 4 | 1 | 31 | 1 | 2 | 3 | 2 | |
| 12 | 5 | 4 | 3 | 1 | 32 | 1 | 3 | 2 | 2 | |
| 13 | 1 | 2 | 3 | 2 | 33 | 3 | 2 | 1 | 2 | |
| 14 | 1 | 3 | 2 | 2 | 34 | 3 | 1 | 2 | 2 | |
| 15 | 3 | 2 | 1 | 2 | 35 | 2 | 3 | 1 | 2 | |
| 16 | 3 | 1 | 2 | 2 | 36 | 2 | 1 | 3 | 2 | |
| 17 | 2 | 3 | 1 | 2 | 37 | 2 | 3 | 4 | 2 | |
| 18 | 2 | 1 | 3 | 2 | 38 | 2 | 4 | 3 | 2 | |
| 19 | 2 | 3 | 4 | 2 | 39 | 4 | 3 | 2 | 2 | |
| 20 | 2 | 4 | 3 | 2 | 40 | 4 | 2 | 3 | 2 |
|
|
|
II. Теоретический материал.
Кривые второго порядка (на плоскости)
Эллипс.
Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек плоскости 
и 
, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.
Постоянную сумму расстояний произвольной точки эллипса до фокусов принято обозначать через 
. Расстояние между фокусами равно 
.
Если фокусы эллипса совпадают, то он представляет собой окружность.
Расположим эллипс так, чтобы его фокусы лежали на оси абсцисс симметрично относительно оси ординат, то есть 
(Рис.1). Пусть 
текущая точка эллипса. В этой системе координат уравнение эллипса имеет вид:
, (1)
где 
- большая, 
- малая полуоси эллипса, 
. Центр симметрии эллипса, определяемого уравнением (2.12.1), совпадает с началом координат. Уравнение вида (1) называется каноническим уравнением эллипса. Это уравнение второй степени, следовательно, эллипс – кривая второго порядка.
Рис.1.
Эксцентриситетом эллипса называется число 
, равное отношению фокусного расстояния к большой полуоси эллипса. Для эллипса - 
(для окружности - 
). Отрезки 
и 
называются фокальными радиусами точки М и могут быть вычислены по формулам 
и 
. Если эллипс определен уравнением (1) и 
, то прямые 
называются директрисами эллипса (если 
, то директрисы определяются уравнениями 
).
|
|
|
Гипербола.
Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых абсолютное значение разности расстояний до двух данных точек плоскости и , называемых фокусами, есть величина постоянная, равная .
Расстояние между фокусами равно .
При указанном выборе системы координат оси координат являются осями симметрии гиперболы, а начало координат – ее центром симметрии. Ось 
называется
Рис. 2.
действительной осью, а 
- мнимой осью гиперболы. Точки пересечения гиперболы с осью называются вершинами гиперболы.
В этой системе координат каноническое уравнение гиперболы имеет вид:
(2)
Эксцентриситетом гиперболы (как и эллипса) называется число , где 
- расстояние от центра гиперболы до ее вершины. Очевидно, что для любой гиперболы 
.
Если 
- произвольная точка гиперболы, то отрезки и называются фокальными радиусами точки М. Фокальные радиусы правой ветви гиперболы могут быть вычислены по формулам 
и 
. Фокальные радиусы левой ветви гиперболы – по формулам 
и 
.
Парабола.
Параболой называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки плоскости 
, называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, называемой директрисой.
Рис. 2.14.1
Парабола имеет одну ось симметрии, называемую осью параболы, с которой она пересекается в единственной точке. Точка, в которой парабола пересекается с осью симметрии, называется вершиной параболы. При указанном выше выборе системы координат ось параболы совмещена с осью абсцисс, вершина находится в начале координат, а вся парабола лежит в правой полуплоскости.
В этой системе координат каноническое уравнение параболы имеет вид:
(3)
Поверхности второго порядка (в пространстве)
