Признаки сходимости несобственных интегралов 1 рода

от произвольных функций

В предыдущем параграфе рассматривались признаки сходимости (признаки сравнения) несобственных интегралов рода от положительных (или отрицательных) функций .

Если функция , начиная с какого - то места , имеет значения одного знака , то на промежутке эта функция является положительной (или отрицательной), и для исследования сходимости несобственного интеграла , а значит и , также можно применять признаки сравнения.

Если же подынтегральная функция не сохраняет знак ни на каком промежутке вида , где , то эти признаки сходимости уже не применимы.

В этом параграфе рассматриваются несобственные интегралы рода , где функция является знакопеременной при , т.е. на любом промежутке вида , где , функция меняет знак (как, например, функция или ).

Абсолютная сходимость несобственных интегралов.

Определение. Несобственный интеграл называется абсолютно сходящимся, если сходится несобственный интеграл .

Для положительных функций понятие сходимости несобственного интеграла от этих функций совпадает с понятием абсолютной сходимости, т.к. " .

Что можно сказать о сходимости несобственного интеграла ,

если известно, что он сходится абсолютно? Ответ на этот вопрос дает следующее утверждение.

Теорема. Абсолютно сходящийся несобственный интеграл – сходится. Другими словами:

если – сходится абсолютно, то – сходится.

Доказательство.

Имеем неравенства:

" ⇒ ∙ " .

Так как интеграл - сходится, то по свойству линейности интеграл ∙ - также сходится.

Для положительных функций и ∙ можно применить первый признак сравнения о сходимости несобственных интегралов:

- сходится ⇒ - сходится.

Так как , то из сходимости интегралов

и по свойству линейности следует

сходимость интеграла . Теорема доказана.

Замечание. Обратное утверждение неверно, т.е. из сходимости несобственного интеграла не следует его абсолютная сходимость. Это означает, что абсолютная сходимость - более сильное свойство, чем просто сходимость. Подробнее об этом изложено чуть ниже.

Рассмотрим некоторые свойства абсолютно сходящихся интегралов.

Теорема 1. Пусть " , где . Тогда

если - сходится, то - сходится абсолютно.

Доказательство.

Для положительных функций и можно применить первый признак сравнения о сходимости несобственных интегралов:

- сходится ⇒ - сходится.

Это означает, что интеграл - сходится абсолютно

(по определению). Терема доказана.

Теорема 2. Рассмотрим несобственный интеграл ,

где - ограниченная функция на промежутке .

Пусть несобственный интеграл - сходится абсолютно. Тогда несобственный интеграл - также сходится абсолютно.

Доказательство.

Так как - ограниченная функция, то " для некоторого числа . Следовательно:

∙ ∙ " .

Далее: - сходится ⇒ – сходится (по свойству линейности) ⇒ – сходится (первый признак сравнения) ⇒ - сходится абсолютно. Теорема доказана.

Пример.

Покажем, что , - сходятся абсолютно " .

Действительно, имеем: " ;

- сходится, т.к. ; следовательно,

по Теореме 1 несобственный интеграл - сходится абсолютно. Аналогичный факт имеем и для несобственного интеграла .

Пример.

Покажем, что несобственные интегралы: , , где , , - сходятся абсолютно.

Пусть , или ;

- ограниченная функция на промежутке . Так как – это сходящийся «эталонный» интеграл (), то по Теореме 2 несобственный интеграл

- сходится абсолютно.

Условная сходимость несобственных интегралов.

Определение. Несобственный интеграл называется условно сходящимся, если этот интеграл сходится, а интеграл от модуля функции: - расходится.

Другими словами, если несобственный интеграл - сходится, но абсолютной сходимости этого интеграла – нет, то такой интеграл называется условно сходящимся.

Примерами условно сходящихся несобственных интегралов будут интегралы Дирихле:

, , где .

Покажем это.

Применим к этим интегралам формулу интегрирования по частям.

;

Несобственные интегралы и – это частные случаи рассмотренных выше интегралов вида , .

Эти интегралы сходятся (абсолютно), т.к. (). Следовательно, интегралы Дирихле: , , () - также сходятся.

Теперь покажем, что абсолютной сходимости этих интегралов - нет, т.е. что интегралы: , - расходятся.

Рассмотрим интеграл . Предположим, что он сходится. Так как " , то по первому признаку сравнения сходится и интеграл ; кроме того, как показано выше, сходится и интеграл .

Тогда сумма двух сходящихся интегралов по свойству линейности также сходится:

, но интеграл , как известно, расходится.

Полученное противоречие показывает, что на самом деле несобственный интеграл - расходится. Аналогично доказывается, что - расходится.

Таким образом, доказано, что интегралы Дирихле сходятся условно.

Очевидно, что сходятся условно и интегралы вида:

, , где , , .

Замечание. Вместо несобственного интеграла , где - можно рассмотреть несобственный интеграл , который также сходится условно. Действительно: , а интеграл - является собственным (определенным) интегралом, так как подынтегральная функция - ограничена на .

Замечание. Используя сходимость интегралов Дирихле, вводятся неэлементарные функции интегральный синус и интегральный косинус :

, , .

Значения этих функций задаются в специальных таблицах.

Условная сходимость некоторых несобственных интегралов вида

- может быть установлена с помощью признаков Абеля и Дирихле, которые мы приведем без доказательства.

Теорема (признак Абеля).

Пусть выполнены следующие условия:

) несобственный интеграл - сходится (условно или абсолютно);

) функция - монотонна и ограничена на промежутке .

Тогда несобственный интеграл - сходится.

Теорема (признак Дирихле).

Пусть выполнены следующие условия:

) интегралы - ограничены при значениях ;

) функция - монотонна и стремится к нулю при .

Тогда несобственный интеграл - сходится.

Замечание. В признаке Дирихле первое условие - более слабое, чем в признаке Абеля, так как в нем не требуется сходимость несобственного интеграла ; но второе условие - более сильное, так как вместо ограниченности функции требуется стремление ее к нулю при .

Пример. Рассмотрим несобственные интегралы:

, , где , , , .

Применим признак Дирихле.

Здесь или , ; при .

или .

∙ ∙ ;

∙ ⇒ интегралы - ограничены при значениях ; аналогично и для интеграла .

По признаку Дирихле эти интегралы сходятся. Покажем, что они сходятся условно.

Так как , то " .

Далее имеем: - расходится;

по первому признаку сравнения интеграл - также расходится; следовательно, расходится и интеграл , где .

Аналогично и для интеграла . Значит, эти несобственные интегралы сходятся условно.

Можно показать, что при несобственные интегралы:

, - расходятся.

Таким образом, получаем следующий результат:

Рис. Условия сходимости несобственных интегралов

условно при

при

абсолютно при

§ 5. Несобственные интегралы 2 рода

В этом параграфе рассматриваются функции, заданные на конечном промежутке и не ограниченные на этом промежутке.

Если функция в некоторых точках промежутка не определена, то ее можно в этих точках доопределить какими-нибудь значениями; тем самым функция будет определена уже на всем промежутке. При этом изменение значений функции в нескольких точках, как известно, не меняет значение определенного интеграла и не влияет на интегрируемость функции.

В дальнейшем будет указываться весь промежуток, на котором рассматривается функция; а точки, в которых она не ограничена (или не определена), будут называться особыми точками.

Пусть функция определена на промежутке и не ограничена на нем. Предположим, что единственной особой точкой на этом промежутке является правый конец промежутка - точка .

При этом считаем, что на любом промежутке вида , где - достаточно малое положительное число, функция интегрируема.

Рассмотрим определенный интеграл и поставим вопрос о существовании предела:

Этот предел может быть конечным или бесконечным, а может и вовсе не существовать.

Определение.

Несобственным интегралом рода от функции на промежутке называется выражение .

Это выражение имеет конкретное значение, равное пределу , если этот предел существует и конечен:

;

в этом случае говорят, что несобственный интеграл - сходится.

В случае бесконечного предела: - выражению также приписывают значение ; в этом случае говорят, что несобственный интеграл - расходится: .

Если предел - не существует, то и в этом случае говорят, что несобственный интеграл - расходится, а выражению не приписывают никакого значения.

Аналогично определяется несобственный интеграл рода в случае, когда единственной особой точкой является левый конец промежутка - точка :

Пример.

)

⇒

несобственный интеграл сходится и равен .

)

Рис. К геометрическому смыслу несобственного интеграла 2 рода

⇒ несобственный интеграл сходится и равен

Геометрический смысл

несобственного интеграла рода.

Если на , то

несобственный интеграл

равен площади бесконечной

(неограниченной сверху) криволинейной

трапеции, ограниченной графиком

функции , прямыми

, и осью абсцисс (см. рис.)

При этом сходящийся

несобственный интеграл задает

конечную площадь, а расходящийся –

бесконечную площадь.

Если оба конца промежутка являются особыми точками, то разбиваем этот промежуток на два промежутка произвольной точкой :

и рассматриваем несобственный интеграл с двумя особыми точками как сумму двух несобственных интегралов с одной особой точкой каждый:

Тогда несобственный интеграл называется сходящимся, если сходятся оба интеграла этой суммы. Если хотя бы одно из этих слагаемых расходится, то несобственный интеграл называется расходящимся.

Пример.

Рассмотрим первое слагаемое:

; - расходится ⇒

несобственный интеграл - также расходится.

Если имеется единственная особая точка , которая лежит внутри промежутка , то также разбиваем этот промежуток на два промежутка:

и рассматриваем несобственный интеграл как сумму двух несобственных интегралов с одной особой точкой каждый:

Пример.

Рассмотрим второе слагаемое:

;

- расходится ⇒ - также расходится.

Пример.

Первое слагаемое:

∙ .

Второе слагаемое:

∙ .

Оба интеграла сходятся; следовательно, несобственный интеграл

сходится и равен .

Если функция имеет на промежутке несколько особых точек, то разбиваем промежуток на такие частичные промежутки, в каждом из которых есть только одна особая точка; далее рассматриваем несобственный интеграл как сумму несобственных интегралов по каждому из этих промежутков.

В этом случае несобственный интеграл называется сходящимся, если сходятся все интегралы этой суммы. Если хотя бы одно из этих слагаемых расходится, то несобственный интеграл называется расходящимся.

Исследование сходимости несобственного интеграла

, где .

При данный несобственный интеграл расходится; действительно:

Пусть , тогда имеем:

∙ .

Если , то и при ; в этом случае несобственный интеграл - расходится.

Если , то и при ; в этом случае несобственный интеграл сходится и равен: .

Таким образом, получаем:

Рис. Условие сходимости несобственного интеграла

при

Геометрический смысл этого результата заключается в следующем.

Площадь бесконечной криволинейной трапеции «под кривой» на промежутке является конечной при и бесконечной при (см. рис.)

Рис. Геометрический смысл условия сходимости несобственного интеграла

Это различие объясняется тем, что графики одних функций «теснее прижимаются» к оси , чем графики других функций. «Границей» между этими множествами кривых является график функции , который ограничивает криволинейную трапецию бесконечной площади.

Пример.

Найдемплощадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции на промежутке , где .

∙

∙ ⇒ (см. рис.)

Например: , , .

§ 6. Простейшие свойства и вычисление

несобственных интегралов рода.

Несобственные интегралы рода обладают теми же свойствами, что и несобственные интегралы рода. Сформулируем эти свойства, например, для случая, когда единственной особой точкой является правый конец промежутка , т.е. точка .

Аддитивность.

Если сходится несобственный интеграл , то " сходится и несобственный интеграл , при этом выполняется равенство:

Линейность.

Если сходятся несобственные интегралы и , то сходится и несобственный интеграл

" , , при этом справедливо равенство:

∙ ∙ .

Если несобственный интеграл - сходится, то

Методы вычисления несобственных интегралов рода.

Вычисление несобственных интегралов рода основано на тех же формулах, что и вычисление несобственных интегралов рода.

Формула Ньютона-Лейбница:

где - первообразная для функции на и .

Например:

Интегрирование по частям: .

Пример.

∙

Замена переменной: .

Пример.

§ 7. Признаки сходимости несобственных интегралов 2 рода

В случае, когда вычисление несобственного интеграла рода невозможно или затруднительно, для решения вопроса о существовании (сходимости) этого несобственного интеграла применяются признаки сходимости.

Признаки сходимости для несобственных интегралов рода аналогичны признакам сходимости несобственных интегралов рода.

Для определенности будем рассматривать несобственные интегралы

рода , где точка является единственной особой точкой промежутка . Признаки сходимости, которые будут установлены для них, переносятся и на другие типы несобственных интегралов рода.

Признаки сходимости для положительных функций.

Пусть " (или, по крайней мере " , где - достаточно малое положительное число).

Сходимость несобственного интеграла от положительной функции равносильна ограниченности соответствующих определенных интегралов:

- сходится ⇔ : " .

Признаки сравнения.

Рассмотрим несобственные интегралы рода от положительных функций:

, , где , " .

Теорема 1 (первый признак сравнения).

Пусть " . Тогда

) из сходимости следует сходимость и справедлива оценка: ;

) из расходимости следует расходимость .

Пример.

Исследуем сходимость несобственного интеграла .

Здесь - положительная функция на ,

- особая точка, " ;

несобственный интеграл – сходится (см. Пример выше).

По первому признаку сравнения интеграл - также сходится.

Теорема 2 (второй признак сравнения).

Пусть , " и существует предел

Тогда оба интеграла и - сходятся или оба интеграла расходятся, т.е. если один из них сходится, то и другой сходится, а если один из них расходится, то и другой расходится.

Пример.

Исследуем сходимость несобственного интеграла .