Классификация множеств

 

Основной характеристикой множеств является количество элементов, содержащихся в этом множестве.

По данному признаку выделяются:

1. Множество, содержащее конечное число элементов называется конечным.

Количество элементов конечного множества называют его мощностью.

2. Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным.

3. Если множество не содержит элементов, то оно называется пустым и обозначается .

1. Конечное множество по признаку мощности характеризуется:

Два множества А и В называются эквивалентными, или, равномощными, если между их элементами можно установить взаимно-однозначное соответствие.

Пример: Рассмотрим множества, состоящие из букв слов:

; ; ; .

Множества А, В и С имеют равные мощности: , а мощность множества D меньше .

При этом, множества А и В равны, а множества А и С – эквивалентны.

Эталоном для сравнения множеств служит натуральный ряд чисел. Поэтому все числовые последовательности, содержащие различные элементы, эквивалентны натуральному ряду чисел, что видно по их индексам.

 

2. Бесконечное множество, которое эквивалентно множеству натуральных чисел, называется счетным.

Говорим, что все элементы счетного множества пронумерованы.

В противном случае бесконечное множество будет несчетным.

В 1878 году Георг Кантор доказал, что множество точек, расположенных на отрезке от 0 до 1 несчетно.

 

Во множестве могут быть выделены подмножества.

 

Если каждый элемент множества K принадлежит множеству М, то множество К называют подмножеством множества М и обозначают .

Например:

1) множество всех книг данного автора в библиотеке, есть подмножество всех книг в библиотеке.

2) множество студентов, обучающихся на "4" и "5" в группе есть подмножество всех студентов группы.

3)  четных чисел меньших или равных 6, есть подмножество множества .

 

Пустое множество является подмножеством любого множества.

 

Количество подмножеств для исходного множества может быть рассчитано.

Для этого познакомимся с термином булеан.

Булеаном множества М (N(M)) называется множество всех его подмножеств.

Пример:

Рассмотрим множество . Составим все подмножества множества М.

, , ,

, , , , ,

, , ,

.

 

Подмножества  и  являются несобственными подмножествами множества М,

остальные – 2-15 – это собственные подмножества.

Всего мы нашли 16 различных подмножеств множества М. Это число 16 может выразить: .

 

В общем случае, для любого конечног о множества, состоящего из n элементов, число возможных подмножеств равно .

 

Множество U, состоящее из всех возможных элементов, обладающих данным признаком, называется универсальным.

 

 

Вопрос 2. Операции над множествами

И свойства операций

   Множества изображаются при помощи диаграмм Эйлера-Венна (круги на плоскости).

Элементы множества изображаются точками:

- внутри круга, если они принадлежат данному множеству;

- вне круга, если не принадлежат.

, .

Основными операциями над множествами являются операции:

- пересечение,

- объединение,

- разность,

- симметрическая разность,

- дополнение.

 

1. Пересечением множеств А и В называется множество , состоящее из элементов, которые принадлежат одновременно как множеству А так и множеству В.

 

Пример: Если , , то .

 

При помощи диаграмм Эйлера-Венна пересечение множеств изображается следующим образом:

 

2. Объединением множеств А и В называется множество , состоящее из элементов, которые принадлежат или множеству А или множеству В.

Пример: Если , , то .

 

При помощи диаграмм Эйлера-Венна объединение множеств изображается следующим образом:

3. Разностью множеств А и В называется множество , состоящее из элементов множества А, которые не принадлежат множеству В.

Пример: Если , , то .

Р азность множеств изображается следующим образом:

 

По диаграмме видно, что  можно заменить на .

4. Симметрической разностью  А и В называется множество , состоящее из элементов множеств А или В, но не принадлежащих этим множествам одновременно.

 

 

Пример: Если , , то .

 

При помощи диаграмм Эйлера-Венна симметрическая разность множеств изображается следующим образом:

 

5. Дополнением множества А до множества U называется множество , состоящее из элементов множества U, которые не принадлежат множеству А.

 

При помощи диаграмм Эйлера-Венна дополнение множества изображается следующим образом:

 

 

Свойства операций

Операции над множествами обладают рядом свойств, похожих на свойства операций сложения и умножения чисел.

 

Объединение (сложение)	Пересечение (умножение)
1. Коммутативность (переместительное свойство)
2. Ассоциативность (сочетательное свойство)
5. Дистрибутивность пересечения относительно объединения (распределительный закон)
6. Дистрибутивность объединения относительно пересечения
5. Закон поглощения
6. Закон де Моргана
7. Закон склеивания
8.Ззакон Порецкого
,	,
,	,

 

Используя эти операции можно выражать одни множества через другие, при этом сначала выполняется операция дополнения, затем пересечения и только затем операции объединения и разности. Для изменения порядка в выражении используют скобки.

 

Пример. Доказать справедливость следующего равенства и проверить результат на диаграмме Эйлера-Венна: .

Решение. Преобразуем по очереди левую и правую части данного равенства:

1) . Заменили разность на пересечение с дополнением.

2)

.

Использовали переход от разности к пересечению, закон де Моргана, свойство дистрибутивности, свойство и .

После преобразования видно, что левая и правая части равенств одинаковые, следовательно, равенство доказано.

Проверим равенство на диаграмме Эйлера-Венна.