Движение сплошной среды характеризуется прежде всего скоростями ее частиц. В каждый момент времени они имеют определенную по величине и направлению скорость.
Если поле скоростей и давлений остается неизменным во времени, то движение называется установившимся.
В случае установившегося движения давление и скорость могут изменяться при перемещении частицы жидкости из одного положения в другое, но в данной неподвижной относительно русла точке давление и скорость являются функциями только координат.
p=f1(x,y,z)
v=f2(x,y,z0
В случае неустановившегося течения давления и скорость зависят как от координат, так и от времени.
P=F1(x,y,z,t) V=F2(x,y,z,t)
В практике часто пользуются понятиями средн. скоростей. Обычно усреднение скорости производится либо по времени, либо по площади некоторого сечения потока.
Среднее значение величины скорости за промежуток времени t0 представляет собой интеграл:
Средняя величина скорости по некоторой площади S определятся как
Вектор ускорения жидкой частицы, движущейся со скоростью V является индивидуальной производной по времени от вектора скорости
|
|
Т.к. вектор скорости в общем случае зависит от времени и координат
V=V(x,y,z.t), то по правилу дифференцирования сложной функции найден
Т.к. производные от координат движущейся точки по времени есть соответствующие проекции скоростей, т.е.
; ;
Получим
В проекциях на оси координат x,y,z это уравнение будет иметь вид:
Первое слагаемое первой части равенства выражаем изменение скорости во времени в некоторой фиксированной точке пространства, т.е местное изменение и поэтому называется локальной составляющей ускорения. Остальные слагаемые характеризуют изменение скорости частицы при ее перемещении и называются конвективными составляющими ускорения.
При установившемся движении локальное ускорение всегда равно 0. при неустановившемся оно может обращаться в 0 лишь тогда, когда в данной точке скорость имеет max или min значение во времени.
Конвективное ускорение может быть при установившемся и неустановившемся движениях. Оно обращается в 0 лишь тогда, когда средняя скорость не зависит от координат.
Векторные линии и траектории
Векторной линией в поле векторов называется линия, в каждой точке которой в данный момент времени вектор касателен к ней.
Совокупность векторных линий, проходящих через все точки некоторого контура, образует векторную поверхность.
Если рассматривать движение жидкой частицы во времени, то линия, по которой двигалась частица в некоторый момент времени называется траекторией.
Траектории частиц жидкости при установившемся течении являются неизменными во времени.
|
|
При неустановившемся течении траектории различных частиц, проходящих через данную точку пространства, могут иметь разную форму. Поэтому для рассмотрения картины течения, возникающей в каждый момент времени, вводится понятие линии тока.
Линией тока называется кривая, в каждой точке которой вектор скорости в данный момент времени направлен по касательной.
Для установившегося движения тока, совпадает с траекторией частицы и не изменяет своей формы с течением времени.
Если в движущейся жидкости взять бесконечно малый замкнутый контур и через все его точки провести линии тока, то образуется трубчатая поверхность называемая трубкой тока.
Часть потока, заключенная внутри трубки тока, называется элементарной струйкой.
При стремлении поперечных сечений размеров струйки к 0 она в пределе стягивается в линию тока.
Живым сечением или просто сечением потока, называется в обще случае поверхность в пределах потока, проведенная нормально к линиям тока. Далее будем рассматривать в потоках такие участки, в которых струйки можно считать параллельными, и следовательно, живые сечения плоскими.
Расходом называется количество жидкости, протекающей через живое сечение потока (струйки) в единицу времени.
Для элементарной струйки, имеющей бесконечно малые площадки сечений, можно считать истинную скорость V одинаковой во всех точках каждого сечения, тогда элементарный расход, проходящий через площадку dS выразится так dS = VdS [м3/c]
Для потока конечных размеров в общем случае скорость имеет различное значение в разных точках сечения, поэтому расход надо определять как сумму элементарных расходов струек.
Q=SVdS
Основываясь на законе сохранения вещества, на предположение о сплошности (неразрывности) течения и на непроницаемости трубки тока можно утверждать, что расходство всех сечениях элементарной струйки одинаков.
dQ=V1dS1=V2dS2=const – (вдоль струйки)
Для потока конечных размеров, ограниченного непроницаемыми стенками следует ввести средние скорости
Q=VсрS1=VсрS2=const – (вдоль потока)
Основное уравнение гидродинамики
Из последнего уравнения следует, что средние скорости в потоке несжимаемой жидкости обратно пропорциональных площадям живых сечений
ЛЕКЦИЯ 4 Основные уравнения динамики жидкости.
Закон сохранения массы и уравнения неразрывности
Закон сохранения массы для изолированной системы выражается в том, что масса m такой системы остается постоянной во время движения. Следовательно, полная производная от массы по времени равно 0.
Используя закон сохранения массы для элементарного объема получим:
После дифференцирования будем иметь
Второе слагаемое деленное на ρdW есть величина относительного изменения объема dW, равная
сумма диагональных компонент тендора скоростей дифференциальный
/Тогда получим
Уравнение неразрывности, является выражением закона сохранения массы.
Если жидкость несжимаема,то есть ρ=const, то уравнение неразрывности примет вид:
2, Закон сохранения количества движения (импульса). Дифференциальные уравнения динамики жидкости в напряжениях.
Закон сохранения импульса можно сформулировать так:
«Разность векторной производственной от количеств движения жидкого объема и всех внешних сил, приложенных к нему, равна нулю во все время движения».
Для конечного объема жидкости W с поверхности S закон сохранения импульса можно записать
Путем математических преобразований получаем закон сохранения импульса в векторной форме:
, где
Закон сохранения импульса в проекциях на оси координат можно записать:
Лекция 5
Динамика идеальной и вязкой жидкости.
В целях упрощения постановки задач при изучении законов движения жидкости создана модель идеальной жидкости.
|
|
Идеальной жидкостью называется воображаемая жидкость, которая характеризуется полным отсутствием вязкости и абсолютной неизменяемостью объема при изменении давления.
Дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости можно получить из дифференциальных уравнений покоя (смотри Гидростатику), если согласно принципу Даламбера ввести в эти уравнения силу инерции, отнесенную к единице массы движущейся жидкости.
- I x, Iy, Iz,проекции силы инерции, равной произведению массы на ускорение, на оси координат Ix = ρ dx dy dz dUx/ dt
проекции ускорений на оси координат.
Сила инерции направлена в сторону противоположную ускорению, поэтому она входит со знаком минус.
Вводя силу инерции в дифференциальное уравнение равновесия (уравнение Эйлера) получим:
Уравнение движения Эйлера для идеальной жидкости.
Граничные условия:
1. Непроницаемость стенки.
2. Безотрывное течение вдоль стенки
«Полное ускорение частицы вдоль координатной оси складывается из ускорения от массовых сил и от ускорения сил давления».
В векторной форме уравнение имеет вид
Переходя от идеальной жидкости к реальной (вязкой) жидкости, в полученные уравнения вводятся дополнительные слагаемые, учитывающие силы трения, отнесенные к единице массы жидкости.
Такая операция приводит нас к системе трех уравнений, называемых уравнениями Навье – Стокса.
Последнее дополнительное слагаемое учитывает силы трения. Выражения в скобках представляют собой соответствующие суммы вторых частных производных от U,V,W по координатам x,y, z.
Для получения конкретных решений при интегрировании системы уравнений должны быть заданы граничные условия:
1. Условие прилипания частиц к твердой стенке а) равенство 0 скорости на неподвижной стенке или б) совпадение скоростей частиц жидкости со скоростями точек движущейся твердой поверхности.
2. В случае внешнего обтекания: задание скорости во внешнем потоке. В случае движения в трубе: задание расхода.
|
|
3. Задание давления в какой-либо одной точке потока
4. В векторном виде
5. , где символ ММ обозначает вектор с проекциями VU, VV, VW.