Корреляция для нелинейной регрессии. Коэффициенты эластичности

Качество нелинейной корреляционной зависимости можно оценить с помощью индекса корреляции:

.

Индекс корреляции для нелинейных форм связи изменяется в пределах . Чем ближе его значение к единице, тем сильнее взаимосвязь между изучаемыми переменными.

Если возвести индекс корреляции в квадрат, то полученная величина будет называться индексом детерминации:

.

Индекс детерминации показывает, какую долю от общей дисперсии результативного признака у составляет дисперсия результативного признака у, объясненная регрессионной моделью.

Помимо индексов корреляции и детерминации оценить тесноту связи между переменными х и у позволяют коэффициенты эластичности.

Общий коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов приблизительно изменится результативный признак у при изменении факторного признака на 1%. Формула расчета общего коэффициента эластичности имеет вид:

,

где - первая производная результативной переменной по факторному признаку.

Коэффициент эластичности обычно рассчитывается для среднего значения факторного признака по формуле:

.

Средний коэффициент эластичности характеризует процентное изменение результативного признака у относительно своего среднего значения при изменении факторного признака на 1% относительно .

Для линейной зависимости средний коэффициент эластичности определяется следующим образом:

.

Для параболы средний коэффициент эластичности определяется по формуле:

.

Для гиперболы средний коэффициент эластичности равен:

.

Для показательной функции вида средний коэффициент эластичности определяется как:

.

Для степенной функции средний коэффициент эластичности равен:

, т.е. для степенной функции средний коэффициент эластичности равен коэффициенту регрессии. Только одна эта нелинейная функция обладает подобным свойством.

Помимо средних коэффициентов эластичности могут быть также рассчитаны точечные коэффициенты эластичности. Общая формула их расчета:

,

где х₁ – конкретное заданное значение факторного признака.

Точечный коэффициент эластичности характеризует процентное изменение результативной переменной у относительно уровня функции y(x₁) при изменении факторного признака на 1% относительно заданного уровня х₁.

Для линейной зависимости точечный коэффициент эластичности будет рассчитываться по формуле:

.

Для параболы точечный коэффициент эластичности выглядит следующим образом:

.

Для гиперболы точечный коэффициент эластичности равен:

.

Для показательной функции:

Для степенной функции .