Критерий основан на построении определителя, составленного из коэффициентов, входящих в характеристическое уравнение системы.
Запишем характеристическое уравнение для системы 6-го порядка в виде
. (7.11)
Аналогично можно записать уравнение системы любой степени, если порядок системы обозначить n. В нашем случае n =6.Уравнение записывается таким образом, чтобы коэффициент при высшей производной (а 6) был положительным, т.е. а 6 > 0.
Порядок построения определителя Гурвица.
1. По главной диагонали записываются все коэффициенты от до а 0 включительно (=5).
2. Вверх по диагонали записываются коэффициенты уравнения в порядке убывания индексов, а вниз от диагонали – в порядке возрастания индексов.
3. На месте коэффициентов, не входящих в характеристическое уравнение, ставят нули.
4. Определители меньших порядков получают вычеркиванием последнего столбца и последней строки.
5. Определитель высшего порядка D n = a 0D n -1 (D6= а 0D5).
Условие устойчивости по Гурвицу
Система автоматического управления будет устойчивой, если все определители, составленные из коэффициентов характеристического уравнения системы, от D n (D6) до D1 будут положительными, при этом аn (а 6) должно быть больше нуля.
|
|
Построим определитель Гурвица для системы шестого порядка.
.
Система устойчива, если а 0>0; D5>0; D4>0; D3>0; D2>0; D1= а 5>0.
Если хотя бы один из определителей, называемых определителями Гурвица, отрицателен, система будет неустойчива.
Если главный определитель системы D п =0, а все остальные определители положительны, то система находится на границе устойчивости.
Рассмотрим частные случаи критерия Гурвица для систем 1, 2, 3-го порядков. Раскрывая определители, фигурирующие в общей формулировке критерия, можно получить следующие условия.
1. Для уравнений первого порядка
,
условие устойчивости
а 1 > 0 и D1 = а 0 > 0,
т.е. необходимым и достаточным условием устойчивости является положительность коэффициентов уравнения (<0).
2. Для уравнений второго порядка
,
условие устойчивости
а 2 > 0, D1 = а 1 > 0; D2 = а 0 а 1 > 0.
Таким образом, и для системы второго порядка положительность коэффициентов является необходимым и достаточным условием устойчивости.
3. Для уравнений третьего порядка
,
условие устойчивости
а 3 > 0, D1 = а 2 > 0; D2 = а 1 а 2 – а 0 а 3 > 0; D3 = а 0D2 > 0.
Последнее неравенство Δ3 > 0 эквивалентно неравенству D2 > 0. Следовательно, для системы третьего порядка кроме положительности всех коэффициентов уравнения требуется, чтобы D2 > 0.
Критерий Гурвица применяют для анализа устойчивости систем не выше пятого порядка. При n > 5 вычисление определителей становится громоздким.
|
|