Основы теории подобия

1. Сущность теории подобия. Физическое и математическое моделирование.

Расчёт аппаратов может производиться несколькими методами:

1. Наиболее точный и предпочтительный путь изучения и расчёта процессов - теоретический:

а) составление на основе общих законов физики и химии математических зависимостей;

б) составление дифференциальных уравнений, полностью описывающих процесс и их решение.

Однако дифференциальное уравнение описывает не единичный процесс, а бесконечное множество одинаковых процессов.

Чтобы описать единичный, конкретный процесс, нужно задать условия, в виде конкретных численных значений:

К условиям однозначности относят:

1) Геометрические условия, характеризующие форму и размеры аппаратуры, в которой протекает процесс.

2) Физические характеристики системы в виде физических констант или уравнений, выражающих зависимость свойств и различных параметров.

3) Граничные условия, описывающие значения всех существующих параметров на границах системы с окружающей средой.

4) Начальные условия в момент времени, принимаются за начало отчёта.

Например, при движении жидкости в трубе;

-геометрические условия диаметр и длина трубы;

-физические свойства жидкости

-граничные условия (например,

-начальные условия в момент

Таким образом, для расчёта конкретного процесса дифференциальные уравнения интегрируются в пределах, установленных условиями однозначности.

Однако, интегрирование уравнений переноса вследствие их сложности представляет большие трудности. Обычно решение уравнений становится возможным только при их упрощении и использовании методов численного интегрирования с применением ЭВМ. Эти методы лежат в основе математического моделирования, которое включает в себя:

1) Описание конкретного процесса в виде его математической модели (система уравнений);

2) Решение уравнений на ЭВМ;

3) Установление адекватности математической модели реальному процессу.

Использование ЭВМ позволяет проводить расчеты многократно, при различных исходных данных (условия однозначности); При этом процессы можно исследовать в широком диапазоне изменения параметров и определить оптимальные условия.

Важным достоинством метода математического моделирования является возможность изучения сложных процессов без создания опытных установок. и возможность исследования режимов, которые трудно реализовать по условиям ТБ или экономическим соображениям.

Недостаток метода трудность получения адекватного математического описания ввиду большой сложности реальных процессов и влияние различных явлений переноса друг на друга. Приходится пренебрегать некоторыми факторами, вносить поправочный коэффициент.

Многие процессы характеризуются большим числом переменных и настолько сложны, что зачастую удаётся дать лишь математическую формулировку задачи и установить условия однозначности. Полученные таким образом дифференциальные уравнения не могут быть решены.

Наиболее плодотворным является осуществление таких экспериментов, которые позволяют обобщить результаты опытов на определённую группу подобных процессов. Это достигается при использовании теории подобия.

Теория подобия является учением о методах научного обобщения эксперимента. Она указывает, как нужно ставить опыты и обрабатывать полученные данные, чтобы при проведении небольшого числа экспериментов их можно было бы распространить на процессы, протекающие в условиях, отличающихся от условий опыта.

Единство экспериментальных и теоретических методов исследований.

Вместо промышленных объектов изучают малые модели, обработка результатов методами теории подобия позволяют распространить полученные данные на большие объекты. Это физическое моделировании, когда физическая сущность процесса на модели и в натуре одна и та же (меняются масштабы установки, используемые вещества и т.д.).

Наилучший путь комбинирование физического и математического моделирования; роль последнего непрерывно возрастает с прогрессом вычислительной техники и прикладной математики.

Условия и теоремы подобия.

Условия однозначности позволяют выделить из класса единичные явления. Однако в пределах класса явления очень разнообразны (движение жидкости), поэтому можно из класса выделить группы подобных явлений. Это лишь часть явлений данного класса, на которую можно распространить данный единичный опыт.

Для группы подобных явлений (чтобы её выделить) условия однозначности строят по особому правилу.

Рассмотрим условия подобия, соответствующие особому построению условий однозначности.

2. Условия и теоремы подобия.

Важным моментом является выделение из класса явлений группы подобных явлений (уравнение Новье-Стокса: вязкая жидкость под действием разности давлений)

Явления называются подобными, если для них постоянны отношения сходственных величин.

Например: из класса плоских геометрических фигур (треугольники, многоугольники) можно выделить группы подобных фигур треугольников,

сходственные размеры которых параллельны, а отношения их постоянны:

Подобные фигуры будут отличаться только масштабом.

Однако при протекании физических процессов соблюдение геометрических пропорций является необходимым, но недостаточным условием. Должны быть подобны все основные физические величины, влияющие на процесс, как во времени, так и в пространстве.

Сформулируем необходимые условия подобия:

Рассмотрим в ка ч естве примера течение жидкости в двух трубах:

D1 d2

L1,Т1 L2,T2

Натура Модель

1. Геометрические подобия соблюдаются при равенстве отношений всех сходственных линейных размеров натуры и модули:

где: - пути, проходимые сходственными частицами от входа в натуру и модель до произвольных сходственных точек.

константа геометрического подобия, характеризует соотношение между геометрическими параметрами подобных систем и позволяющая перейти от размеров одной системы к другой.

2. Временное подобие соблюдается если отношение между сходственными интервалами времени процесса сохраняется постоянное значение (сходственный интервал времени, это интервал в течении которого завершаются аналогичные стадии процесса).

В нашем случае: сходственные частицы, двигаясь по геометрически подобным траекториям, проходят геометрически подобные пути за промежутки времени, отношение которых постоянно:

где: – время прохождения всей трубы.

- время прохождения сходственными точками подобных путей.

константа временного подобия (гемохронности)

Если говорят о синхронности процессов.

Пример: загрузка, нагревание, перемещение, охлаждение, выгрузка.

3. Подобие физических величин соблюдается, если для сходственных точек натуры и модели, размещённых подобно в пространстве и времени (т.е. соблюдается геометрическое и временное подобие), отношение физических свойств является величинами постоянными.

Например:

4. Подобие начальных и граничных условий соблюдается, если отношение основных параметров в начале процесса и на границе натуры и модели являются соответственно величинами постоянными, т.е. если для начальных и граничных условий соблюдаются геометрические, временные и физические подобия, как и для других сходственных точек.

Таким образом, подобие условий однозначности для группы подобных явлений включает в себя геометрическое, временное подобие, а также подобие физических величин, и подобие начальных и граничных условий.

Константы подобия и др. постоянны для разных сходственных точек подобных систем, но численно могут отличаться друг от друга.

В константах подобия отношения величин можно заменить отношениями приращений:

Например:

Константы подобия численно отличаются друг от друга. Основные положения теории подобия обобщаются теоремами подобия. Константы подобия Кл, Кч, Кр и др. должны определённым образом согласовываться друг с другом. Это устанавливается теоремами подобия.

1-ая теорема Ньютона – Бертрана (теорема о необходимых условиях подобия):

Подобные явления характеризуются численно равными критериями или числами подобия.

Для пояснения понятия «критерий подобия» рассмотрим простейший пример:

Выделим в двух подобных системах две подобно движущиеся частицы массой m1 и m2. Пусть на частицу m1 действует сила f1, создающая ускорение

Дифференциальное уравнение движения:

На частицу

При подобном движении для сходственных точек натуры и модели можно записать:

Следствием подобия этих переменных является подобие сил:

Подставим эти значения в 1-ое уравнение:

;

или: ;

Для подобных процессов уравнения (сравним с уравнением 2) должны быть тождественны следовательно:

индикатор подобия.

У подобных процессов (систем) индикатор подобия равен 1, т.е. выбор констант подобия не произволен, можно выбрать только три из них, а значение четвёртого будет определяться из уравнения.

Заменим константы подобия через их первоначальные значения:

Эти комплексы называются критериями (или числами) подобия и численно равны для подобных процессов. Критерии безразмерны и имеют всегда физический смысл, являясь мерой соотношения между какими-то двумя эффектами.

Комплекс =Ne критерий Ньютона, характеризующий отношение действующих на частицу силы к силе инерции. Он используется в случае механического подобия.

В константах подобия отношения величин можно заменить отношениями приращений:

Например: =

Основные положения теории подобия обобщается теоремами подобия. Константы подобия , и др. должны определённым образом согласовываться друг с другом. Это устанавливается теоремами подобия.

Другой, более простой способ подобного преобразования дифференциальных уравнений:

Критерии подобия находят, деля одну часть дифференциального уравнения на другую и отбрасывая при этом знаки математических операторов.

Первая теорема подобия указывает, какие величины следует измерять при обобщении результатов опытов: те величины, которые входят в критерий подобия.

2-я теорема - Бэкингема - Федермана:

Решение любого дифференциального уравнения, связывающего между собой переменные, влияющие на процесс, может быть представлено в виде зависимости между критериями подобия:

Таким образом, решение дифференциального уравнения может быть представлено в общем виде:

f ()=0;

Такие уравнения называются критериальными.

Необходимо отметить, что различают определяющие и определяемые критерии.

а) Определяющие критерии составлены только из величин, входящих в условия однозначности, необходимые для однозначной характеристики процесса. Условно однозначно выделяют из класса одно конкретное явление и определяют его.

б) Определяемые критерии включают и величины, которые не входят в условия однозначности и не могут быть заранее вычислены.

Какой из критериев является определяемым, зависит от формулировки задачи.

Например: если задана форма трубы (d;l),

физические свойства жидкости,

распределение скоростей у входа в трубу и у её стенок (начальные и граничные условия)

то совокупность этих условий однозначно определяет перепад давлений между любыми точками трубы ().

Следовательно, критерий подобия, в который, кроме условий однозначности, входят величина от них зависящая, будет определяемым.

Вторая теорема подобия указывает, как обрабатывать результаты опытов, полученные на моделях:

Их надо представлять в виде функциональной зависимости между критериями подобия.

3-я теорема Кирпичёва -Гухмана (теорема о достаточных условиях подобия).

Она определяет необходимые и достаточные условия подобия.

Подобные те явления, которые описываются одной и той же системой дифференциальных уравнений и у которых соблюдается подобие условий однозначности.

Подобию условий однозначности отвечает равенство определяющих критериев.

Равенство определяющих критериев является необходимым условием подобия.

Равенство определяемых критериев является следствием подобия ()