Перемещения сечений плоской рамы
В сечениях плоской рамы возникает только те силовые факторы, которые действуют в плоскости самой рамы, а именно: изгибающий момент Mz, перерезывающая сила Qy и нормальная сила N. Следовательно, для плоской рамы из шести слагаемых в интеграле Мора (4) сохраняются только три слагаемых. Если же учесть, что основную роль в рамах играют изгибные перемещения, в этой формуле можно удержать, лишь одно слагаемое. Поэтому интеграл Мора для плоских рам принимает такой же вид, как и для балок:
(6)
Пример 7.4
Определить горизонтальное смещение δA точки A и угол поворота φB сечения B плоской рамы приведенной на рисунке 7.34. Жесткость на изгиб EIz считать заданной и постоянной на всех участках рамы.
Рисунок 7.34
Решение.
1. Строим эпюры крутящих и изгибающих моментов от заданных нагрузок. Эти эпюры были построены ранее при решении примера 7.2. Воспользуемся полученными ранее эпюрами (рис. 7.35) и аналитическими выражениями.
Рисунок 7.35
M1-2(φ) = 1,5qa´a´sinφ
|
|
M2-3(x) = 0,5qax – (1/2)qx2
2. Для определения перемещения δA приложим единичное усилие в сечении A в направлении искомого перемещения δA (рис. 7.36).
Рисунок 7.36
а) Определим реакции опор из уравнений равновесия:
ΣX= 1 + X3 = 0
ΣY= Y1 + Y3 = 0
Σmom1 = Y3×2a + 1×2a = 0, откуда
X3 =0, Y3 = -1, Y1 = 1
б) Запишем выражения изгибающих моментов на каждом из участков:
M′1-2(φ) = 1×a sinφ + 1×a(1+cosφ)=a(1+cosφ+sinφ)
M′2-3(x) = 1×x
в) Построим эпюру изгибающих моментов от единичного усилия (рис. 7.37).
Рисунок 7.37
г) Для определения перемещения вычислим интеграл Мора:
3. Для определения угла поворота φB приложим единичный момент в сечении B (рис. 7.38).
Рисунок 7.38
а) Определим реакции опор из уравнений равновесия:
ΣY= Y1 + Y3 = 0
Σmom1 = Y3×2a - 1 = 0, откуда
Y3 = 1/2a, Y1 = -1/2a
б) Запишем выражения изгибающих моментов на каждом из участков.
M′1-2(φ) = -(1/2a) a sinφ = -(1/2)×sinφ
M′2-3(x) = -1+(1/2a) ×x
в) Построим эпюру изгибающих моментов от единичного усилия (рис. 7.39):
Рисунок 7.39
г) Для определения перемещения вычислим интеграл Мора:
Для ферм в интеграле Мора следует удержать только одно слагаемое, содержащее нормальные силы N в сечениях стержней от заданных нагрузок и нормальные силы N’ от единичной нагрузки. Учитывая, что по длине каждого стержня нормальные силы постоянны, формулу для определения перемещений узлов фермы можно записать так:
Пример 7.5
Определить вертикальное смещение δA точки A фермы приведенной на рисунке 7.40. Жесткость EF считать заданной и постоянной для всех стержней фермы.
Рисунок 7.40
Решение.
1. Для приведенной фермы усилия N в стержнях от внешней нагрузки определены в разделе 7.4:
|
|
N1 =250 кг, N2 =-1250 кг, N3 =-500 кг, N4 =250 кг, N5 =1875 кг,
N6 =-2625 кг, N7 =1375 кг, N8 =1875 кг, N9 =-3750 кг, N10 =-1500 кг
2. Приложим единичное усилие в вертикальном направлении к узлу A (рис. 7.41) и определим «методом выделения узлов» усилия в стержнях рамы N’:
Рисунок 7.41
N1=N2=N3=N4=N5=N6=N7=0,
N8 =√2, N9 =-√2, N10 =-1
3. Определим перемещение узла A: