Числовые характеристики выборки

Для вероятностного описания случайных величин широко используются числовые характеристики, назначением которых является выражение в сжатой форме наиболее существенных особенностей распределения случайной величины. Характеристиками положения случайной величины являются математические ожидания, мода и медиана.

Естественно, что возможно мысленно себе представить неограниченное число опытов, которое бы дало нам истинное значение вероятности, но, как правило, мы имеем дело с ограниченной случайной выборкой из бесконечной возможной совокупности или из генеральной совокупности. Число элементов случайной выборки из генеральной совокупности называется объемом выборки.

Выборка называется репрезентативной (представительной), если она в основном правильно отражает особенности генеральной совокупности.

Выборка, все члены которой записаны в виде упорядоченного, возрастающего или убывающего по своей числовой величине ряда, называется вариационным рядом.

Размахом вариационного ряда называется разность числовых значений крайних членов ряда.

Модой - М_о - называется наиболее вероятное значение случайной величины или то значение этой величины, частота которого наибольшая.

Медианой - М_е - называется такое среднее значение, которое делит совокупность всех значений случайной величины на две равные по количеству членов ряда части, причем в одной из них все значения случайной величины меньше медианы, а в другой - больше.

Для того чтобы определить медиану, необходимо расположить все члены ряда в возрастающем или убывающем порядке. При нечетном числе членов ряда n=2m +1 медиана равна М_е=Х_m+1, при четном n =2m - медиана равна

Указанные характеристики положения случайной величины см. на рисунке 3.2.

Рисунок 2.3 - Характеристики положения случайной величины

Математическое ожидание М_(х) - теоретическая величина, к которой приближается среднее значение случайной величины при большом числе испытаний.

Для непрерывной случайной величины

(2.12)

Для дискретной случайной величины математическим ожиданием называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на вероятности этих значений.

(2.13)

Дисперсия Д(х) = σ² - это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

Для дискретной случайной величины

(2.14)

Для непрерывной случайной величины

(2.15)

Среднее квадратическое отклонение σ - это положительное значение корня квадратного из дисперсии:

(2.16)

Коэфициент вариации V_х - отношение среднего квадратического отклонения к математическому ожиданию:

(2.17)

Рассмотрим физический смысл приведенных выше генеральных характеристик:

- математическое ожидание М_(x) - это среднее значение, это центр распределения.

- д исперсия является характеристикой рассеивания случайной величины, разбросанности ее значений около математического ожидания. Чем больше рассеиваются отдельные значения случайной величины, тем больше будет дисперсия, потому что суммируются квадраты отклонений от центра. Чем дальше отстоят отдельные значения от середины, тем больше будут их отклонения, тем больше будет дисперсия.

Если V(х) = 10%, то это значит, что среднеквадратическое отклонение σ составляет одну десятую от математического ожидания - М_(x).