Частные производные

2.

Определение. Частной производной функции нескольких переменныx по одной из этиx переменныx называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению рассматриваемой независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует).

Обозначается частная производная так: , или , , или .

Из определения частных производныx следует, что для нахождения производной (х, у) надо считать постоянной переменную y, а для нахождения (x, y) – переменную x. При этом сохраняются известные правила дифференцирования.

Таким образом, частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется производная, взятая по этой переменной при условии, что все остальные переменные остаются постоянными. Для функции двух переменных z = f(x, y) частной производной по переменной x называется производная этой функции по x при постоянном y. Обозначается частная производная по x следующим образом: .

Аналогично частной производной функции z = f(x, y) по аргументу y называется производная этой функции по y при постоянном x. Обозначения:

.

Частными производными второго порядка функции z = f(x, y) называются частные производные от ее частных производных первого порядка. Если первая производная была взята, например, по аргументу x, то вторые производные обозначаются символами .

Пусть функция z = f(x, y) определена в области D и точка M_o(x_o, y_o) будет внутренней точкой этой области. Говорят, что функция f(x, y) в точке M_o(x_o, y_o) имеет максимум (минимум), если ее можно окружить такой окрестностью

(x_o - d, x_o + d; y_o - e, y_o+ e),

чтобы для всех точек этой окрестности выполнялось неравенство

f(x,y) £ f(x_o,y_o) (f(x,y) ³ f(x_o,y_o)).