1. Стационарность. Случайные процессы, статистические характеристики которых одинаковы во всех сечениях называются стационарными случайными процессами. Различаются стационарные случайные процессы в узком смысле и широком смысле. Случайный процесс стационарен в узком смысле, если любая n-мерная плотность вероятности инвариантна относительно временного сдвига :
(6.9)
Если же ограничить требования тем, чтобы математическое ожидание m и дисперсия процесса не зависели от времени, а функция корреляции зависела лишь от разности , т.е. , то подобный случайный процесс будет стационарен в широком смысле. Из стационарности в узком смысле следует стационарность в широком смысле, но не наоборот. Как следует из определения, функция корреляции стационарного случайного процесса является чётной:
Кроме того, абсолютные значения этой функции при любом не превышают её значения при :
(6.10)
Часто удобно использовать нормированную функцию корреляции:
(6.11)
Для которой
2. Эргодичность. Стационарный случайный процесс называется эргодическим, если при нахождении его моментных функций усреднение по статистическому ансамблю можно заменить усреднением по времени.
|
|
Операция усреднения выполняется над единственной реализацией x(t), длительность Т которой теоретически может быть сколь угодно велика. Обозначая усреднение по времени угловыми скобками, запишем математическое ожидание эргодического случайного процесса:
, (6.12)
которое равно постоянной составляющей выбранной реализации.
Дисперсия подобного процесса.
(6.13)
Поскольку величина представляет собой мощность реализации, а величина - мощность постоянной составляющей, дисперсия имеет наглядный смысл мощности флуктуационной составляющей эргодического процесса.
Аналогично находим функцию корреляции:
(6.14)
Достаточным условием эргодичности случайного процесса, стационарного в широком смысле, является стремление к нулю функции корреляции при неограниченном росте временного сдвига :
(6.15)
Это требование можно несколько ослабить и применительно к гармоническому процессу со случайной начальной фазой. Случайный процесс эргодичен если выполняется условие Слуцкого:
(6.16)