Экономико-математические методы управления запасами

Математическая теория управления запасами является крупной областью экономико-математических исследований.Это оптимизационные модели принятия решений основанные на методах операционного исчисления: программирования,математической статистики, методах вариационного исчисления, оптимального управления, методах теории массового обслуживания, графов, расписаний и т. д. Все многообразие экономико-математических моделей управление запасами можно свести к нескольким типам.

Основные классические модели управления запасами

· Экономичный размер заказа

Первое место принадлежит классической экономико-математической модели управления запасами по определению оптимального(экономичного) размера заказа.

Впервые вывод формулы,которую часто называют простой формулой заказа, был сделан Фордом Харрисом в1915 году. Затем эта формула была получена, по-видимому, самостоятельно многими исследователями. Но чаще всего ее называют формулой Р. Уилсона (1934 г.) или Deterministic Economic Order Quantity(EOQ).

Оптимальный размер заказа должен быть таким, чтобы суммарные годовые расходы на размещение заказов и на содержание запасов оказались минимальными при данном объеме производства.

Графически это отражено на рисунке 1.9.

Суммарные затраты

Затраты хранения запасов

Затраты пополнения запаса

Затраты

Размер партии

Рис 1.9. Зависимость затрат от размера партии

Р.Уилсон исходил из условия идеальной системы управления запасами, то есть потребление ресурса происходит мелкими партиями или поштучно, а доставка нового заказа должна осуществляться крупной партией в момент, когда предыдущий полностью закончился. Средний размер запаса товара, на складе устанавливается на уровне половины величины заказываемой партии. При этом ученым учитывались затраты, связанные с приобретением товара, его доставкой и хранением.

Затраты на хранение материальных запасов необходимые для расчетов по оптимизации запасов могут быть рассчитаны для отдельно стоящих складов и складов расположенных в производственных зданиях следующим образом. На железнодорожном транспорте большинство складских помещений находится в помещении производственных зданий. Порядок расчета затрат на хранение запасов склада в производственном здании представлен в таблице 1.3.

Пример расчета затрат на хранение Таблица 1.3.

Статьи издержек	Порядок расчета	Расчет в тыс. рублей.
Амортизация складских помещений
Затраты на обслуживающий персонал	ФОТ = ФЗП+ Соц. нач.	480,0+ 163,2 =643,2
Износ и старение	0,05% от среднегодовой стоимости запасов	0,5 1491,1 = 7,5
Налог на имущество со складских площадей
Общехозяйственные расходы склада		390.0 = 24.7
Итого		698.3

С учетом данных ограничений если размер одной заказываемой и доставляемой партии равен V, то средняя величина запаса товара на складе составит V/2 и соответственно затраты на хранение Е_хр будут равны.

При условии постоянного спроса в течение определенного периода Суммарные затраты на поставку и хранение определяются по следующей формуле:, (1)

где E _пост – расходы на одну поставку; n – количество поставок;

E _уд – удельные издержки по хранению;

Размер поставки V может быть определен по формуле:

,(2)

где Q – суммарный спрос на ресурс.

Очевидно, оптимальный размер заказа будет достигнут, когда совокупные издержки принимают минимальное значение или когда первая производная уравнения по размеру заказа будет равна нулю. Тогда оптимальный размер поставок рассчитывается по следующей формуле:

. (3)

Используя формулу (3) можно рассчитать оптимальное количество поставок. Стоимость самого ресурса в эту модель не входит, так какими бы партиями не пополнялся запас, стоимость потребленного ресурса за период остается постоянной и составит: Ц×Q где Ц – цена единицы ресурса. Интенсивность потребления - Q рассчитывается по следующей формуле:

Q =V/ t_инт

Где: V –- партия поставки,

t_инт, – интервал поставки.

Графически изображение идеальной модели показано на рисунке 1.10.

Запас на складе

Партия поставки

Время

Интервал поставки

Оптимальное потребление

Рис.1.10. Идеальная модель управления запасами.

Графическая модель отражает изменение величины запаса во времени.

Потребление отражено в виде циклов (Пополнение мгновенное). Для упрощения, расходование принято равномерным и показано в виде наклонной прямой. Для выполнения расчетов по выбранной модели оптимизации необходимы следующие показатели: интенсивность потребления и расходы на поставку и издержки по хранению. Расчет оптимального размера заказа по этой модели не отражает реальных условий снабжения.

Для получения моделей с достаточной степенью адекватности отражающих реальную ситуацию необходимо снять как минимум два ограничения на условия применения модели EOQ. В - первых исполнение заказа происходит не мгновенно, а за конечное время – время поставки. Во – вторых интенсивность потребления не жестко фиксированная величина, а колеблется около среднего уровня. На рис 1.11.графически рассмотрен вариант при равномерном потреблении и равномерной по времени поставке - фиксированный ритм поставки.

Точка заказа

Интервал поставки постоянный

Оптимальное потребление

Время

Остаток запасов на складе

Оптимальный уровень заказа

Потребление за время поставки




Рис 1.11. Модель с фиксированным ритмом поставки

ТОЧКА ЗАКАЗА -уровень запасов на складе при котором заказывается новая партия товара равная потребности за время поставки.

На основе идеальной модели путем расширения (снятия ограничений) разными авторами разработаны реальные модели управления запасами. Классификация реальных моделей представлена на рис. 1.12.

Детерминированы: Интенсивность потребления ресурса в заданные моменты времени может с равной вероятностью принимать любые значения. значения

Реальные модели управления запасами ззапасамизапасами

Стохастические: интенсивность потребления ресурса – величина случайная распределенная по нормальному закону.

С фиксированным ритмом поставки

Без фиксации ритма и партии поставки

С фиксированной партией поставки

Рис.1.12. Классификация реальных моделей управления запасами

В таблице 1.4. приведен пример расчета оптимального размера заказа по идеальной модели. А также пример расчета реального уровня запасов с фиксированным ритмом поставки и возможной задержкой поставки и уровней запаса по времени учета.

Расчет оптимального размера заказа и уровней запаса Таблица 1.4.

№	Показатели необходимые для расчета	Условные обозначения и формулы для расчета	Результаты расчетов
	Объем деповского ремонта и вагонов.	n	4000ваг.
	Норма расхода ресурса на вагон по видам ремонта и технического обслуживания, ед.на вагон.		4ед..
3.	Удельные затраты на хранение в.% от стоимости ресурса.	E хр	8%
4.	Затраты на одну поставку в.% от стоимости ресурса	E пост	35%
	Потребность в заказе материального ресурса, ед.
5.	Средняя интенсивность потребления, ед. в день
6.	Время поставки, дни.
7.	Возможная задержка поставки, дни.
8.	Оптимальный размер заказ, ед.
9.	Ожидаемое потребление за время поставки, ед.
10.	Максимальное потребление за время поставки, ед.
	Гарантийный запас, ед.
	Пороговый уровень запаса, ед.
	Желательный максимальный запас, ед.
	Срок расходования запаса до порогового уровня, дни
	Интервал между поставками.
	Количество поставок

Гарантийный (страховой) запас позволяет обеспечивать потребность на время предполагаемой максимальной задержки поставки. Восполнение гарантийного запаса производится входе последующих поставок - через пересчет размера заказа таким образом, чтобы его поставка увеличила запас до желательного максимального уровня.

Пороговый уровень запаса определяет уровень запаса, при достижении которого производится очередной заказ. Величина порогового уровня рассчитывается, таким образом, что поступление заказа на склад происходит в момент снижения текущего запаса до гарантийного уровня. При расчете порогового уровня задержка поставки не учитывается.

Желательный максимальный запас определяется для отслеживания целесообразной загрузки площадей с точки зрения критерия минимизации совокупных затрат.

В системе фиксированным интервалом времени между заказами заказы делаются в строго определенные моменты времени и, следовательно, пересчитывается размер фактического заказа. При расчете фактического размера заказа учитывается наличие текущего запаса ресурса.

Стохастические или вероятностные модели управления запасами позволяют наиболее точно описывать ситуации, с которыми приходится сталкиваться на практике и, следовательно, позволяют найти более точные решения поставленных задач. Так эти модели, в отличие от детерминированных моделей, допускают вероятность дефицита на складе. Однако эти модели требуют более сложного математического аппарата и для практического использования необходимо создавать для пользователей адаптированные программные продукты. Все эти модели однопродуктовые, то есть предполагают управление запасом одноименных или однородных ресурсов. По интенсивности потребления выделяют модели для расчета уровня запасов при затянувшейся поставке или при ускоренном потреблении, с учетом, компенсации и страховки дефицита

Проблема оптимального регулирования запасов является одной из центральных и самых сложных в системе материально-технического обеспечения для любого сектора экономики. Отсутствие универсальных систем управления запасами связано с особенностями отраслевого характера и неопределенностью производственной программы и, соответственно, неопределенностью спроса, предложения и функционального цикла. При определенной потребности управление запасами может быть определено методом Lot for lot»- партия за партией, методом постоянного заказа, методом наименьших затрат. Это наиболее адаптивный метод,позволяющий отслеживать изменяющиеся параметры.

Следовательно, стратегия управления запасами должна разрабатываться в конкретной среде, а политика управления запасами опираться на стратегию. Использование экономико-математических методов, информационных технологий и логистических подходов позволяет оптимизировать уровень и структуру запасов. Это должно привести к снижению издержек на хранение, транспортировку, формирование запасов материальных ресурсов и соответственно себестоимости транспортной продукции