Если две случайные величины х1 и х2 каждая в отдельности имеют нормальное распределение с параметрами М(х1), М(х2) и = =,то модуль разности этих величин r =имеет распределение, которое носит название закона распределения модуля разности. Этому закону часто подчиняются погрешности взаимно расположенных поверхностей и осей, а также погрешности формы деталей: овальность, конусность и т.д.
Плотность вероятности или дифференциальная функция распределения случайной величины r выражается следующим уравнением:
f(r) = 1/0[ e- (r – M(x))/2+ e- (r +M(x))/2],
где М(х0) = М(х1) – М(х2) и являются параметрами распределения модуля разности r.
Интегральная функция распределения модуля разности имеет вид: F(r)) = 1/0[ e- (r – M(x))/2+
+ e- (r +M(x))/2],
Вид кривой распределения f(r) зависит от отношения M(x0)/:
f(r) M(x0)/= 0
M(x0)/= 3
r
3.8. Композиция законов распределения.
Если величина U является суммой других взаимно независимых случайных величин X, Y, Z,...,то закон распределения суммы U называется композицией законов распределения слагаемых X, Y, Z,.... Операция нахождения закона называется компонированием и обозначается значком .
|
|
В случаях, когда суммируемые слагаемые X, Y, Z,... заданы вероятностями p1(xi), p2(yi), p3(zi),... или функциями F(x), F(y), F(z),... или плотностями вероятности f(x), f(y), f(z),... формулы компонирования записываются следующим образом:
P(Uk) = p1(xi)p2(yi)p3(zi)...;
F(U) = F(x)F(y)F(z)...;
f(U) = f(x)f(y)f(z)....
Закон распределения суммы нескольких слагаемых находится путем последовательного определения закона для суммы 2-х слагаемых, потом к этой сумме добавляется третье слагаемое и т.д.
Рассмотрим следующий пример. Дискретные случайные величины X и Y заданы рядами распределения
Хi | pi | |||||
P(Xi) | 1/5 | 1/5 | 1/5 | 1/5 | 1/5 | |
Yi | ||||||
P(Yi) | 1/5 | 1/5 | 1/5 | 1/5 | 1/5 |
Закон распределения суммы U двух независимых д.с.в. X и Y, заданных их законами распределения P(Xi) и P(Yi), определяется по следующей формуле композиции дискретных законов распределения:
P(Uk) = p(xi)p(yi) = p1(xi)p2(uk – xi) = p1(yi)p2(uk – yi).
Определим область возможных значений величины U:
Umin = Xmin + Ymin = 2; Umax = Xmax + Ymax = 10;
Применяя способ непосредственного подсчета вероятностей и пользуясь основными теоремами о вероятностях, определим p(xi)p(yi). Расчеты удобно вести с помощью таблицы
Uk | xi | yi | P(xi) | P(yi) | P(xi)P(yi) | P(u k) |
1/5 | 1/5 | 1/25 | 1/25 | |||
1/5 1/5 | 1/5 1/5 | 1/25 1/25 | 2/25 | |||
1/5 1/5 1/5 | 1/5 1/5 1/5 | 1/25 1/25 1/25 | 3/25 | |||
1/5 1/5 1/5 1/5 | 1/5 1/5 1/5 1/5 | 1/25 1/25 1/25 1/25 | 4/25 | |||
1/5 1/5 1/5 1/5 1/5 | 1/5 1/5 1/5 1/5 1/5 | 1/25 1/25 1/25 1/25 1/25 | 5/25 | |||
1/5 1/5 1/5 1/5 | 1/5 1/5 1/5 1/5 | 1/25 1/25 1/25 1/25 | 4/25 | |||
1/5 1/5 1/5 | 1/5 1/5 1/5 | 1/25 1/25 1/25 | 3/25 | |||
1/5 1/5 | 1/5 1/5 | 1/25 1/25 | 2/25 | |||
1/5 | 1/5 | 1/25 | 1/25 |
Составим ряд распределения случайной величины U:
|
|
ui | |||||||||
P(ui) | 1/25 | 2/25 | 3/25 | 4/25 | 5/25 | 4/25 | 3/25 | 2/25 | 1/25 |
Графическое представление результатов:
P(x) P(y)
1/25 1/25
1 2 3 4 5 X 1 2 3 4 5 Y
P(U)
5/25
4/25
3/25
2/25
1/25
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 U
Пример. Случайная величина Х распределена по нормальному закону с плотностью f(x) = (1/)e-[x-M(x)]/2, случайная величина Y распределена по закону равной вероятности в интервале от а до в с плотностью f(y) = 1/(b – a).
Плотность вероятности суммы U двух независимых случайных величин X и Y, заданных их плотностями вероятностей f1(x) и f2(y), определится по формуле:
f(u) = f(x+y) = f1(x)f(y) = f1(x)f2(y) = f1(x)f2(u – x)dx = =f2(y)f2(u – y)dy
Для рассматриваемого примера уравнение примет конкретный вид:
f(u) = [1/(b – a)](1/)e-[u – y – M(x)]/2dy, ayb.
Здесь интеграл берется от a до b, потому что только в этих пределах y0. Введем подстановку:
[u – y – M (x)] /= – t; dy = dt;
[a – u + M(x)] /= t1; [b – u + M(x)] /= t2;
Тогда уравнение примет вид:
f(u) = (1/b – a)(1/)e-tdt = 1/(b – a)[(t1) – (t2) ],
где (t) – функция Лапласа.
Так как среднее значение для х равно М(х), для y - (b + a)/2, то
M(u) = M(x) + (b + a)/2; D(u) = D(x) + (b – a)2/12.
f(u) = 0
= 0,67
=2,2
u
На рисунке приведены кривые распределения по закону композиции нормального и равновероятного распределения при различных = (b – a)/. Вид кривых показывает, что с уменьшением они приближаются к нормальной кривой. Поэтому, когда b – a , для практических целей можно использовать закон нормального распределения.
ЛЕКЦИЯ 4. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ