К таким параметрам относятся:
· R – средняя относительная скорость передачи или просто скорость передачи
· Рн0(k) – вероятность выдачи пользователю блока длиной k с необнаруженной ошибкой
· Р {t(k)‹ tдоп} – функция распределения времени задержки сообщения длиной k на время, меньшее допустимого
· М{tпер} – математическое ожидание времени передачи
· С{tпер} – среднеквадратическое значение времени передачи
· Д{tпер} – дисперсия времени передачи
Рассмотрим эти параметры.
1. Средняя относительная скорость передачи
Предположим, что повторных передач нет, т.е. блок принимается без ошибок или с необнаруживаемыми ошибками. Тогда из временной диаграммы и из определения средней относительной скорости имеем:
R* = kτ0/ τc = kτ0/(nτ0 + tош)= k/(n+ tош / τ0 )
В этой формуле не учитываются переспросы. Чтобы учесть переспросы, посмотрим на временную диаграмму. Видно, что при наличии переспросов, информация пользователю не выдается, т.е. скорость передачи меньше на Nпр/ Nпер , где
Nпр – число принятых блоков
Nпер – число переданных блоков
Тогда скорость:
R = R* Nпр/ Nпер (5.1)
Число Nпр = Nпер – Nстер , Nстер – число стертых блоков
Преобразуем (1) и получим:
R = R*(Nпер – Nстер/ Nпер ) = R* (1- Nстер/ Nпер )
При t→ ∞, Nпер → ∞, lim (Nстер/ Nпер) = Pcт(n), где
Nпер → ∞
Pcт(n) – вероятность стирания блока длиной n.
Окончательно имеем:
R = k{1- Pcт(n)}/ (n + tош / τ0) (5.2)
2. Вероятность необнаруженной ошибки Рн0(k)
Рн0(k) – вероятность выдачи получателю комбинации из k элементов с необнаруженной ошибкой.
Ясно, что можно записать:
Рн0(k) ≈ Nно/ Nпр где
Nно – число блоков с необнаруженной ошибкой
Nпр – число принятых блоков (число блоков, выданных пользователю)
Nст – число стертых блоков
Учитывая, как и раньше, что Nпр = Nпер – Nст , можно записать:
Рн0(k) ≈ (Nно / Nпер )/ {1- Nст / Nпер}
При большом времени работы, т.е. при t→ ∞, переходя к пределу, получаем
Рн0(k) = Рн0(n) /[1- Рст(n)] (5.3)
Поскольку lim Nно / Nпер = Рн0(n) – вероятность появления необнаруженных
t→ ∞
ошибок в комбинации длиной n при однократной передаче блока; а Рст(n) – вероятность стирания кодовой комбинации длиной n.
Анализируя выражение (3), можно отметить, что Рн0(k) >Рн0(n)
Если Рст(n) величина небольшая, т.е. используется хороший дискретный канал, то Рн0(k) ≈ Рн0(n)
Попытаемся связать параметры дискретного канала с полученными зависимостями, т.е. определим Рн0(k), зная параметры дискретного канала. Для этого, кроме значения n и k необходимо знать закон появления ошибок в дискретном канале связи, т.е. необходимо иметь модель канала.
Рассмотрим биномиальную модель, т.е. канал с независимыми ошибками.
При передаче блока сообщения в системе ПДС возможны 3 исхода:
- прием без ошибок Рпр(n);
- прием с ошибкой, которую можно обнаружить Ро.о(n);
- прием с необнаруживаемой ошибкой Рн.о(n);
Поэтому Рпр(n)+ Ро.о(n)+ Рн.о(n) = 1 (5.4)
Вероятность правильного приема кодовой комбинации длиной “n” можно определить как произведение вероятности правильного приема каждого единичного элемента, составляющих эту КК.
Рпр(n) = qn; а у нас задано p0 – вероятность искажения е. э. в канале, т. е.
q = 1 – p0, тогда
Рпр(n) = (1 – p0) n
Вероятность необнаруженной ошибки при приеме КК длиной “n” (Рн.о(n)) определяется по формуле:
n
Рн.о(n) = (1/2n-k) ∑ cni poi (1- po)n-I (5.5)
i= to+1
3.Вероятность обнаруживаемой ошибки Ро.о(n)
Из (5.4) получаем Ро.о(n) = 1- Рпр(n) - Рн.о(n)
Учитывая, что Рпр(n)>> Рн.о(n) и пренебрегая Рн.о(n) по сравнению с Рпр(n) запишем:
Ро.о(n) ≈ 1- Рпр(n) ≈ 1- (1 – p0) n
Слагаемое (1 – p0) n можно разложить, используя бином Ньютона. Поскольку
n
(a – b)n = ∑ (-1)i cni an-i an bi = an – cn1 an b1 + cn2 an-2 b2 +…+ (-1)n cnn a0 bn
i=0
В данном случае а = 1, а b = po << 1, поэтому слагаемыми второго и более высоких порядков можно пренебречь. Получим:
(1 – p0) n = 1 – np0
Окончательно:
Ро.о(n) = np0
Если приемник обнаруживает ошибку, то стирает накопленный блок, т.е.
Ро.о(n) = Рст(n)
и, следовательно, Рст(n) ≈ np0 (5.6)
Предполагая ошибки в дискретном канале независимыми, а также идеальный обратный канал, по формулам (5.3),(5.5) и (5.6) можно определить вероятность выдачи получателю сообщения с ошибкой. При этом необходимо значение вероятностей искажения единичных элементов в дискретном канале.
4. Функция распределения времени передачи.
Для получения такой функции предположим, что сообщение состоит из одного блока. Из временной диаграммы следует:
Число передач Время передачи Вероятность события
1 tпер = τc 1- Рст(n)
2 tпер = τс + τс Рст(n) [1- Рст(n)]
3 tпер = τс + 2τс Рст2(n) [1- Рст(n)]
.......
i tпер = τс + (i-1)τс Рстi-1(n) [1- Рст(n)]
i – число передач
Вероятность того, что время передачи будет меньше допустимого, можно записать при ограниченном числе переспросов:
i-1
Р{ t(k) ≤ (i – 1) τс} = ∑ Рстj(n) [1- Рст(n)] = поскольку второй член не зависит от
j=0 i
j, этот член можно вынести из-под знака суммы = [1- Рст(n)] ∑ Рстj-1(n) (5.7)
j=1
Первый член [1- Рст(n)] – постоянная величина, а второй член – есть сумма членов геометрической прогрессии. Т.о. распределение времени задержки является геометрической.
Сумма членов геометрической прогрессии равна:
n n-1
∑ qi-1 = (1- qn)/(1-q) [ если ∑ qi-1 = (1- qn-1)/(1-q) ]
i=1 i=1
Используя эту формулу, преобразуем (5.7). Получим
Р{ t(k) ≤ (i – 1) τс} = [1- Рст(n)] * {[1-Рстj-1(n) ]/ [1- Рст(n)]} = 1-Рстj-1(n) (5.8)
Перейдем к определению первых двух моментов распределения.
5. Математическое ожидание времени передачи.
Предполагая геометрическое распределение, определим среднее число переданных по прямому каналу блоков на один правильно принятый:
М{i} = 1/[1- Рст(n)]
Т.к. передача одного блока занимает время τс, то математическое ожидание времени передачи можно представить в виде:
М{tпер} = τс /[1- Рст(n)] (5.9)
6. Дисперсия времени передачи
D{tпер} = τс2 Рст(n) / [1- Рст(n)]2 (5.10)
7. Среднеквадратическое отклонение находится (5.10)
С{tпер} = τс [Рст(n)]1/2/ [1- Рст(n)] (5.11)
Можно проверить правильность полученных выражений. Рассчитаем среднюю скорость передачи. Известно:
R = k τ0 / М{tпер}, подставим формулу (5.9)
R = k τ0 [1- Рст(n)] / τc = k [1- Рст(n)] / [n+ tош / τ0 ], что совпадает с полученным ранее выражением.
Выведенные соотношения справедливы при идеальном обратном канале. Если учесть возможность поражения ошибками сигналов решения, то параметры системы РОС-ОЖ ухудшаются. Для борьбы с этим явлением применяют мощные коды для защиты сигналов решения (т.е. с большим кодовым расстоянием, т.к. нужно передать всего два вида сигнала). Кроме этого, применяют метод нумерации блоков сообщения, что позволяет эффективно бороться со вставками и выпадениями.
Достоинства системы РОС-ОЖ:
- простота схемной реализации.
Недостатки:
- невысокая эффективность использования пропускной способности
дискретного канала, т.к. прямой канал простаивает в ожидании сигналов
решения;
- большое среднее время передачи, обусловленное значительным временем ожидания;
- приемлемые параметры сохраняются при небольших расстояниях передачи.