Кручение стержней прямоугольного сечения

Рис. 7.9.

Как отмечалось в п. 2.8, любое упругое тело при деформации накапливает энергию, причём энергия эта равна работе внешнего усилия на соответствующей деформации. При кручении работу совершает крутящий момент М_кр на угле закручивания j. Пока деформация упругая, зависимость между ними линейная (рис.7.10) и работа А равна площади треугольника с катетами, равными конечному значению крутящего момента и соответствующему значению угла закручивания (по аналогии с графиком на рис.2.28 и формулой (2.36):

. (7.17)

Рис.7.10.

Подставив в (7.17) выражение для j (7.8), получим формулу для потенциальной энергии упругой деформации при кручении

. (7.18)

В инженерной практике часто кручению подвергаются стержни, имеющие не круглое, а прямоугольное (иногда треугольное, эллиптическое и другое) сечения. В этих случаях гипотеза плоских сечений неприменима, т.к. после деформации поперечные сечения таких брусьев искривляются (депланируют).

Если депланация сечений происходит без препятствий, кручение называется свободным. При наличии связей, препятствующих свободной депланации отдельных сечений, кручение называется стеснённым. При стеснённом кручении в поперечных сечениях бруса возникают, кроме касательных, нормальные напряжения. В дальнейшем рассматривается только свободное кручение.

Точные расчёты стержней прямоугольного сечения получены методами теории упругости, которые довольно сложны и громоздки и поэтому в курсе сопротивления материалов не излагаются. Однако окончательные результаты приводятся в виде формул, аналогичных формулам расчёта на кручение круглого стержня.

а б

Рис. 7.13

Так, для прямоугольного стержня (рис.7.13) наибольшее касательное напряжение и угол закручивания определяются по формулам

, (7.19)

. (7.20)

Здесь J_K и W_K – геометрические характеристики, заменяющие J_P и W_P:

J_K – момент инерции при кручении;

W_K – момент сопротивления при кручении.