Электрические цепи переменного тока

Контрольные вопросы

Контрольные вопросы

Пример

Определить н.с. и ток катушки, если в воздушном зазоре магнитной цепи рис.16 требуется получить магнитную индукцию В_в = 1,4 Т. Число витков катушки w = 1000, кривая намагничивания стали приведена на рис.17.

Рис.16. Неразветвленная магнитная цепь

Решение. Разбив магнитную цепь на участки, находим их длины и площади поперечного сечения:

Аналогично находим:

Магнитный поток: Ф=В_в∙S_в = 1,4 ∙10^-6=8,4∙10^-4Вб.

Магнитные индукции:

В=, В₃=В₄=В_в=1,4Т.

По кривой намагничивания рис. 17 находим:

Н₁=3А/см=300А/м, Н₂=4А/см=400А/м, Н₃=Н₄=30А/см=300А/м.

Рис.17. Кривая намагничивания

Напряженность в воздушном зазоре: Н_в=.

По закону полного тока н.с. с катушки:

Iw= H₁l₁+H₂l₂+H₃(l₃+l₄)+H_вl_в= (300∙225,5+400∙117,5+3000∙133+112∙10⁴∙2)∙10^-3=2754 А.

Ток катушки:

	Что называется магнитной цепью?
	Перечислить основные характеристики магнитного поля.
	Чем отличается основная кривая намагничивания ферромагнитного материала от его гистерезисной кривой?
	Что такое магнитодвижущая сила и в каких единицах она измеряется?
	Что такое падение магнитного напряжения и в каких единицах оно измеряется?
	Закон Ома для магнитной цепи.
	Как изменится магнитная индукция, если при неизменном магнитном потоке увеличится площадь поперечного сечения магнитопровода?
	Как изменится магнитный поток, если при неизменном токе, площади поперечного сечения и длине магнитопровода уменьшить число витков?

Законы цепей

Электрические цепи, в которых протекает постоянный ток, называются цепями постоянного тока. Электромагнитное состояние таких цепей в установившихся режимах определяется значениями э.д.с. и сопротивлением или проводимостью элементов. При этих условиях в цепях не возникает э.д.с. самоиндукции и отсутствуют токи смещения. Все это упрощает расчет цепей.

Основными задачами расчета электрических цепей постоянного тока являются определение сил токов при известных э.д.с. и параметрах или определение параметров цепей при известных э.д.с. и силах тока. Все остальные величины однозначно определяются через силы токов и параметры цепей. В основе этих расчетов лежат законы цепей. Такими законами являются закон Ома и законы Кирхгофа, которые установлены на основе эксперимента.

Закон Ома

Закон Ома для замкнутой цепи, состоящей из n последовательно соединенных резисторов, образующих n участков цепи, и источника э.д.с., выражается следующей формулой:

,

т.е. сила тока прямо пропорциональна э.д.с. и обратнопропорциональна сумме электрических сопротивлений всех участков цепи.

Для участка цепи закон Ома выражается в следующем виде:

,

т.е. сила тока прямо пропорциональна напряжению на зажимах участка и обратно пропорциональна его сопротивлению.

Законы Кирхгофа

Первый закон Кирхгофа устанавливает зависимость между силами токов, сходящихся в узлах разветвленной электрической цепи, и для n ветвей в узле записывается в виде уравнения:

,

т.е. алгебраическая сумма сил токов, сходящихся в любом узле электрической цепи, равна нулю.

При суммировании сил токов знаки их следует брать с учетом направления токов: все токи, текущие к узлу, берутся с одинаковым знаком, например, положительным, в соответственно с отрицательным — все токи, текущие от узла.

Первый закон выражает принцип непрерывности электрического тока. В узле электрической цепи электрические заряды не накапливаются. Поэтому сумма зарядов, приходящих к узлу, равна в любой момент времени сумме зарядов, уходящих от узла.

Второй закон Кирхгофа устанавливает зависимость между э.д.с., действующими в замкнутом контуре, и падениями напряжения на элементах этого контура. Математически эта зависимость для контура, имеющего m источников э.д.с. и n пассивных элементов, записывается формулой

,

т.е. алгебраическая сумма э.д.с., действующих в любом замкнутом контуре, равна алгебраической сумме падений напряжения на всех участках этого контура.

Для определения знаков слагаемых необходимо обойти замкнутый контур в каком-либо направлении. Токи и э.д.с., совпадающие с направлением обхода, взять с одним знаком, например плюс, а токи и э.д.с., имеющие направление, противоположное направлению обхода, взять с противоположным знаком — минус. Например, для контура аbcd сложной цепи (рис.18), производя обход в направлении стрелки, показанной внутри контура, получим равенство:

Е₁- Е₂ +Е₃ = I₁R₁+I₃R₃-I₂R₂.

Рис. 18. Замкнутый контур цепи

В этом равенстве левая часть представляет собой алгебраическую сумму э.д.с., действующих в контуре, а правая часть — алгебраическую сумму произведений сил токов на соответствующие сопротивления. Эти произведения и называют падениями напряжений.

Простые цепи и методы их расчета

Расчет простых цепей производится на основе законов цепей и эквивалентных преобразований. Последние заключаются в том, что на отдельных участках цепи ряд элементов заменяется эквивалентными элементами при условии неизменности силы тока и напряжения в непреобразованных участках цепи. В результате преобразований упрощается исходная цепь и, следовательно, процесс ее расчета.

При расчете цепей помимо определения сил токов и напряжений необходимо найти их направление. В ряде случаев оно очевидно, а во многих случаях — неочевидно. Поэтому в таких случаях можно задаться положи тельным направлением тока, э.д.с. или напряжения и определить искомые величины.

Последовательное соединение

Схема последовательного соединения источников напряжения и элементов сопротивления приведена на рис.19.

Рис.19. Неразветвленная электрическая цепь

Сила тока во всех участках такого соединения одна и та же. Поэтому в соответствии со вторым законом Кирхгофа для такого соединения можно написать уравнение:

Е₁+Е₂=U₁+U₂+U₃+U₄=IR₁+IR₂+IR₃+IR₄=I(R₁+R₂+R₃+R₄)=IR=U.

Отсюда следует, что при последовательном соединении m источников напряжения и n элементов сопротивлений имеют место следующие соотношения:

а ) э.д.с. эквивалентного источника напряжения равна алгебраической сумме э.д.с. источников, а эквивалентное сопротивление последовательно соединенных участков цепи равна сумме их сопротивлений:

б) падения напряжения на участках цепи пропорциональны их сопротивлениям, т.е.:

U₁= IR₁; U₂=IR₂; ….; U_n=IR_n.

в) напряжение на зажимах цепи равно сумме падений напряжений на внешних участках цепи, т.е.:

U=U₁+U₂+U₃+…+U_n.

Мощность цепи равна сумме мощностей отдельных ее элементов

.

Особенностью последовательного соединения источников напряжения и элементов сопротивлений является то, что их режимы работы зависимы. В частности, при выключении одного из элементов вся цепь обесточивается. Изменение параметра одного из элементов вызывает изменение силы тока в цепи и напряжения на других элементах. Поэтому последовательное соединение применяется для регулирования тока или напряжения

Параллельное соединение

Схема параллельного элементов сопротивления представлена на рис.20, а. Напряжения на зажимах всех ветвей такой цепи одинаково:

U=IR₁=I₂R₂=I₃R₃.

а) б)

Рис.20. Параллельное соединение

Сила тока в неразветвленной части цепи I в соответствии с первым законом Кирхгофа равна сумме сил токов ветвей:

I = I ₁+ I ₂+ I ₃=.

Отсюда следует, что при параллельном соединений n ветвей, содержащих только сопротивления, имеют место следующие соотношения:

а) эквивалентная проводимость цепи равна сумме проводимостей отдельных ветвей:

.

б) силы токов в параллельных ветвях прямо пропорциональны проводимостям этих ветвей:

I₁=Ug₁; I₂=Ug₂; I₃=Ug₃;_…..I_n=Ug_n.

Отметим, что если известны общая сила тока I и эквивалентная проводимость g, то силы токов ветвей определяются из соотношений:

I ₁= I.

Мощность цепи равна сумме мощностей отдельных ветвей:

.

Особенностью параллельного соединения является то, что все ветви цепи находятся под одним и тем же напряжением и режим работы каждой не зависит от остальных.

Практический интерес представляет параллельное соединение источников напряжения, работающих на общую нагрузку. На рис.20,б представлена схема параллельного соединения двух источников напряжения. для этой цепи в соответствии со вторым законом Кирхгофа имеем:

Е₁-I₁R₀₁=U=IR_n;

Е₂-I₂R₀₂=U=IR_n.

Эти уравнения называются уравнениями параллельной работы источников напряжения. Анализ этих уравнений позволяет сделать следующие выводы:

1.если э.д.с. одного источника напряжения будет меньше напряжения U, то он перейдет в режим потребителя;

2. если э.д.с. и внутренние сопротивления параллельно работающих источников соответственно равны, то сила тока нагрузки при любой ее величине распределится между источниками поровну;

З. если э.д.с. параллельно работающих источников напряжения равны между собой, а внутренние сопротивления не равны, или, наоборот, э.д.с. не равны, а внутренние сопротивления равны, то через источник с меньшим внутренним сопротивлением и источник с большей э.д.с. будет проходить большая часть тока, т.е. они будут в большей степени нагружаться.

Смешанное соединение

Схема простейшего смешанного соединения элементов сопротивлений представлена на рис.21. Общее сопротивление такой цепи равно

= ₁+ ₂₃= ₁+.

Рис.21. Смешанное соединение сопротивлений

Силы токов в цепи и на участках определяются по выражениям

I= I₂ = I I₃= I.

Мощность цепи равна сумме мощностей отдельных участков

Р=.

Особенностью смешанной цепи является то, что изменение режима работы одного из потребителей ведет к изменению режима работы всех остальных потребителей.

Сложные цепи и методы их расчета

Сложные соединения имеют многие электрические цепи, в частности цепи систем автоматики, цепи электронных устройств и цепи электроснабжения. В таких цепях, как правило, известны сопротивления и э.д.с., действующие в них, а требуется определить силы токов, напряжения и мощности отдельных ветвей. Наиболее сложной задачей является расчет распределения сил токов в ветвях цепей. Поэтому для решения этой основной задачи применяют ряд расчетных методов, а определение напряжений, мощностей и других величин производится по тем же законам, что и при расчете простых цепей.

Метод законов Кирхгофа

Сущность метода состоит в определении сил токов ветвей решением системы уравнений, составленных по законам Кирхгофа.

Рис.22. Схемы сложных цепей

Однако число уравнений, которые можно составить по законам Кирхгофа, всегда больше числа неизвестных сил токов, равного числу ветвей. По этому необходимо установить, сколько уравнений следует написать по первому закону Кирхгофа и сколько по второму, чтобы получить систему независимых уравнений.

Если сложная цепь (рис.22) состоит из р ветвей и q узлов, то в ней имеется только (q — 1) независимых узлов и n=р- q +1 независимых контуров. Поэтому можно составить по первому закону Кирхгофа (q — 1) и по второму n = р – q +1 независимых уравнений. Общее же число линейно независимых уравнений будет равно количеству ветвей в цепи

р =(q - 1)+ (р – q + 1).

Расчет сложных цепей по законам Кирхгофа целесообразно вести в следующем порядке:

а) определить число узлов q и число ветвей р и в соответствии с этим наметить в цепи (q - 1) независимых узлов и (р - q + 1) независимых контуров;

б) произвольно задаться положительными направлениями токов в ветвях, направлением обхода контуров и составить по законам Кирхгофа систему р линейно независимых уравнений;

в) решить полученную систему уравнений относительно неизвестных сил токов в ветвях.

Рис.23. Схема цепи к расчету методом законов Кирхгофа

В качестве примера рассмотрим сложную цепь (рис.23), имеющую три ветви (р =З), два узла (q =2) и три источника э.д.с. Следовательно, по первому закону Кирхгофа должно быть составлено (q - 1) = 1 и по второму – (р - q + 1) =2 уравнений. Выбран узел А и контуры, обозначенные на рисунке стрелками, и приняв произвольные направления токов и обхода контуров, составляем уравнения по законам Кирхгофа:

I₁+ I₂ + I₃ = 0; I₁R₁- I₃R₃ = E₁ – E₃; I₂R₂ – I₃R₃ = E₂ – E₃.

Совместное решение этой системы уравнений позволяет найти силы токов I ₁, I ₂, и I ₃. Например, сила тока I ₁ находится по выражению

I ₁=.

Достоинством метода законов Кирхгофа является его общность, а недостатком – громоздкость вычислений.

Метод контурных токов

Метод контурных токов позволяет сократить число совместно решаемых уравнений с р до p-q+1.

Последовательность операций расчета:

а) выбирают в схеме взаимно независимые контуры (так, что бы минимум одна из ветвей соответствующего контура входила только в этот контур);

б) для выбранных независимых контуров принимают произвольно направления контуров токов в них;

в) составляют для выбранных контуров уравнения по второму закону Кирхгофа относительно контурных токов.

Для цепи, изображенной на рис.24, рассматриваемой в качестве иллюстрации, выбирая прежние независимые контуры и принимая указанные на рис. направления контурных токов, получим следующие три уравнения:

Рис.24. Схема цепи к расчету методом контурных токов

E₁ = I₁(R_b1+R₁+R₃) – I_IIR₃;

0=I_II(R₂+R₄+R₇+R₃) – I_IR₃+I_IIIR₄;

E₂=I_III(R_b2+R₅+R₄+R₆)+I_IIR₄.

Решив эту систему, определяют контурные токи I₁, I_II, I_III. Если контурный ток окажется отрицательным, меняют его направление на противоположное. Затем выражают действительные токи через контурные. В ветвях, не являющие общими для смежных контуров, действительные токи равны контурным и направлены также:

I₁=I_I; I₂ =I_II; I₅=I_II.

В ветвях, общих для смежных контуров, действительный ток равен алгебраической сумме контурных токов. Так, I₃ = I_I – I_II; I₄ = - (I_II + I_III) при направления токов, указанных на рис.24.

Метод двух узлов

Метод двух узлов позволяет очень просто рассчитать сложную цепь, если она состоит из двух узлов. Возьмем такую цепь (рис.25). Обозначим узловое напряжение U_АВ.

Рис.25. Схема цепи к расчету методом двух узлов

Последовательность операций расчета:

а) будем считать, что все токи в ветвях направлены от узла В к узлу А;

б) определяют узловое напряжение:

U_АВ =,

где в числителе — алгебраическая сумма произведений Е ветви на проводимость соответствующей ветви, а в знаменателе — арифметическая сумма проводимостей ветвей. Поскольку в числителе выражения для U_АВ сумма алгебраическая, значит э.д.с., направления которых совпадают с общим направлением всех токов, берутся в этой сумме со знаком плюс, а э.д.с., направления которых противоположны току, берутся в этой сумме со знаком минус.

Для данной схемы выражение для узлового напряжения запишется:

,

где проводимости ветвей соответственно подсчитываются как величины, обратные сопротивлениям ветвей:

g₄ = g ₅=;

в) определяют по закону Ома токи в ветвях:

I₁=(E₁ - U_АВ)g₁;

I₂=(E₂ – U_АВ

	Найти эквивалентное сопротивление данного соединения, если R1=4 Ом; R2=2 Ом; R3= 3 Ом.	Rэкв.= 1,1 Ом
Rэкв.= 0,9 Ом
Rэкв. = 2,7 Ом
	Как изменится напряжение на параллельном соединении, подключенном к источнику с Rвн ≠0, если число ветвей увеличить.	Не изменится
Уменьшится
Увеличится
	Какое из уравнений не соответствует векторной диаграмме?	I1+I2+I3+I4 = 0
I1+I2= I3+I4
I1+I2-I3 –I4 =0
I3 +I4 –I1 –I2 =0
	Как изменятся токи I1 и I2, если сопротивление R 3 уменьшится?	Увеличится
Уменьшатся
Останутся неизменными
	Каким должно быть сопротивление вольтметра, чтобы он не влиял на режим работы цепи?	RV =0
RV>>Rab
RV = Rab
	Какое имеет место соединения, представленного на рисунке?	Смешанное соединение
Параллельное соединение
Последовательно- параллельное соединение
	Как изменится напряжение на участке АВ, если параллельно ему включить еще одно сопротивление?	Не изменится
Уменьшится
Увеличится
	Как изменится напряжение на участке АВ, если параллельно сопротивлению R 1 включить сопротивление?	Не изменится
Уменьшится
Увеличится
	Можно ли считать, что сопротивления R 1 и R 3 включены параллельно?	Можно
Нельзя
	Выберите правильную формулу для определения тока I 1	I 1=
I 1=
	Можно и считать, что сопротивления R 2 и R 4 включены последовательно?	Можно
Нельзя
	Определить электрическую мощность, выделяемую на сопротивлении R 2	P= () 2∙R2
P =
P = 2
	Какое соединение представлено на рисунке?	Смешанное
Параллельное
	При параллельном соединении n ветвей, содержащих только сопротивления, имеют место следующие соотношения:	g=, In = U∙gn, Р =
R =, In = U∙gn, Р =
		g=, In= Р =

Основные понятия и определения переменного тока

В технике переменным током называют ток, периодически изменяющийся по величине и направлению, причем среднее значение этого тока за период равно нулю (рис.26).

Рис. 26. Кривая изменения синусоидального тока

Периодическим переменный ток является потому, что спустя некоторое время, называемое периодом Т, изменения тока повторяются. Полный круг изменений переменного тока называется циклом. Следовательно, период есть длительность одного цикла. Число циклов в секунду называется частотой. Эта величина обратна периоду и измеряется в герцах:

f = 1/Т [Гц ].

Для энергетических установок (в частности, всех электростанций) в России и в большинстве стран мира принята частота 50 Гц. Легко указать причины такого выбора. Понижение частоты неприемлемо, так как уже при частоте 40 Гц лампы накаливания мигают заметно для глаза. Повышение частоты нежелательно, так как пропорционально частоте растет э.д.с. самоиндукции, существенно мешающая передаче энергии по проводам. Для специальных технических целей применяются токи самых различных частот – от 50 Гц до 50 мГц. Важно отметить, что переменный ток периодически изменяет не только величину, но и направление. Значения переменного тока, напряжения и э.д.с. в какой — нибудь момент времени называются мгновенными значениями и обозначаются i, u, e. Наибольшие из мгновенных значений периодически изменяющихся токов, напряжений и э.д.с. называются максимальными или амплитудными значениями и обозначаются I _m, U _m, E _m.

Простейшей формой периодического процесса является гармоническое синусоидальное колебание. В технике сильных токов стремятся всегда получить э.д.с. и ток синусоидальной формы, так как любая другая форма вредно отражается на работе сетей, многих машин и аппаратов из - за высших гармоник. Кроме того, расчет цепей синусоидального тока относительно прост, т.к. синусоида достаточно изучена. В специальных цепях переменного тока применяются несинусоидальные токи (импульсная техника). Переменный ток промышленной частоты получают при помощи генераторов переменного тока, так называемых синхронных генераторов. В общем случае синусоидальные электрические величины, например напряжение и сила тока, определяются выражениями:

u = U_m Sin(ωt +φ_u); i =I_m Sin(ωt +φ_i).

В этих уравнениях угол (ωt+φ_u) называется фазой, а угол φ —начальной фазой. Фазовый угол в течении одного периода Т изменяется на 2π, следовательно, ωТ=2π, откуда ω f. Величина ω, пропорциональная частоте f, называется угловой частотой. Она измеряется в радианах в секунду (рад/с).

Фаза определяет значение величины в данный момент времени t, а начальная фаза — при t= 0. Начальная фаза может быть φ = 0 или φ >0. На рис.27 изображены графики синусоидальных напряжений и токов, имеющих различные начальные фазы.

Разность фаз двух синусоидальных величин одинаковой частоты называется углом сдвига фаз, или сдвигом фаз. Сдвиг фаз между напряжением и током обозначается и согласно определению равен φ = (ωt + φ_u) - (ωt + φ_i) = φ_u – φ_i,т.е. сдвиг фаз есть алгебраическая разность начальных фаз синусоидальных величин одинаковой частоты.

а) б) в)

Рис.27. К определению фазы и сдвига фаз

Если синусоидальные величины имеют одинаковые фазы, то они совпадают по фазе (рис.27, а), т.е. достигают своих нулевых и амплитудных значений одновременно. Наоборот, если изменение одной из величин наступает раньше или позже соответствующих изменений другой (рис.27, б и в), то фазы этих величин различны и между ними существует сдвиг. Если разность фаз равна ±π, то говорят, что переменные величины имеют противоположные фазы.

Действующие и средние значения силы переменного тока и напряжения

Действующим значением силы переменного тока называют его среднее квадратичное значение за период. Это значение представляет собой такую постоянную силу тока, которая по тепловому действию эквивалентна рассматриваемой силе переменного тока.

Согласно закону Джоуля - Ленца количество тепла, выделяемое постоянным током силой I и переменным током силой i в одном и том же элементе с сопротивлением г за период переменного тока Т, соответственно равно: Q_{_} = kI²RT; Q_~ = k. Приравнивая Q_- = Q_~ и производя преобразования, получим действующее значение силы переменного тока: I=. Соотношение между действующим значением силы синусоидального тока и его амплитудой, если i= I_msinωt, определится выражением:

I=,

т.к. второй интеграл равен нулю. Аналогично находятся действующие значения синусоидальных э.д.с. и напряжения:

E=; U=.

Графически действующее значение синусоидального тока изображено на рис.18.

Средним значением силы переменного тока называют среднее арифметичёское значение из всех мгновенных значений за положительный полупериод. Соотношение между средним значением I_ср переменного тока и его амплитудой I_m определяется следующим образом:

I_ср= =.

Аналогично получим выражения для средних значений напряжения и э.д.с.:

U_ср = E_ср =.

Рис. 28. Действующее значение синусоидального тока

Отношение действующего значения к среднему называется коэффициентом формы переменной величины. Так, в частности, для синусоидального тока получим: k_ф =.

Векторные и временные диаграммы

Синусоидальные величины можно изображать вращающимися векторами. При этом длина вектора в определенном масштабе представляет амплитуду (рис.29, а), угол, образованный вектором с осью абсцисс,— фазовый угол (ωt+φ), а проекции вращающегося вектора на ось ординат — мгновенные значения переменной величины.

Совокупность нескольких векторов, изображающих синусоидальные величины одинаковой частоты и построенных с соблюдением правильной их ориентировки относительно друг друга, называется векторной диаграммой. На рис.29, б в качестве примера приведена векторная диаграмма сил токов, определяемых следующими уравнениями:

i₃ = I_3m sin ωt; i₂ = I_2m (sin ωt -25⁰); i₁ = I_1m sin(ωt+70⁰).

Векторные диаграммы позволяют быстро и просто производить графическое сложение и вычитание однородных синусоидальных величин одинаковой частоты, имеющих как различные начальные фазы, так и различные амплитуды. Векторной диаграммой пользуются также для наглядного изображения сдвига фаз между двумя неоднородными переменными величинами (рис.29, б) одинаковой частоты.

а) б) в)

Рис. 29. Векторные диаграммы

При анализе наряду с векторными диаграммами широко применяются временные диаграммы, которые представляют собой совокупность кривых, изображающих изменения во времени синусоидальных величин. Эти диаграммы также позволяют производить графическое сложение однородных переменных величин путем алгебраического суммирования их ординатных отрезков.

Неразветвленные электрические цепи

Неразветвленной цепью переменного тока является цепь, содержащая элемент с активным сопротивлением, или индуктивностью, или емкостью и цепь, имеющая последовательное соединение этих элементов.

Цепь с активным сопротивлением

Цепь переменного тока с активным сопротивлением изображена на рис.30, а. Если такую цепь включить под синусоидальное напряжение и=U_msinωt,.то сила тока, в ней определяется закону Ома: i =, где I_m = - амплитуда силы тока. Из выражений и = U_msinωt и i= I_msinωt видно, что в цепи, имеющей только активное сопротивление, напряжение и ток совпадают по фазе. Это наглядно показывают временная (рис.30, б) и векторная (рис.30, в) диаграммы.

а) б) в)

Рис.30. Цепь с активным сопротивлением и ее диаграмма

Ток, протекающий по цепи с, принято называть активным током, а произведение iR = u_r — активным падением напряжения.

Цепь с индуктивностью

Переменный ток в цепи с индуктивностью (рис.31, а) вызывает в ней э.д.с. самоиндукции е_L, которая согласно закону Ленца противодействует изменению тока. Если ток в цепи синусоидальный i= I_msinωt, то э.д.с. самоиндукции будет:

.

Обозначив ωLI_m=E_Lm и переходя от косинуса к синусу, получим е_L=E_Lmsin(ωt –π/2).

Очевидно, чтобы в цепи протекал ток, необходимо подать на зажимы цепи напряжение, уравновешивающее э.д.с. самоиндукции, равное по величине и противоположное ей по знаку. Это напряжение обозначается u_L и называется индуктивным напряжением: u_L= -e_L = - ωLI_msin(ωt-π/2) = U_Lmsin(ωt+π/2),

где U_Lm=ωLI_m - амплитуда индуктивного напряжения.

Для действующих значений индуктивного напряжения и силы тока можно записать выражение: U_L= IωL= Ix_L; I =.

а) б) в)

Рис.31. Цепь с индуктивностью и ее диаграмма.

Величина x_L =ωL=2πfL, имеющая размерность сопротивления, называется индуктивным сопротивлением. Это сопротивление представляет расчетную величину, с помощью которой учитывается влияние э.д.с. самоиндукции на ток в цепи.

Из выражений видно, что в цепи имеющей индуктивность, индуктивное сопротивление опережает ток на четверть периода, а э.д.с. самоиндукции отстает от тока на четверть периода; индуктивное напряжение и э.д.с. самоиндукции находятся в противофазе.

Цепь с активным сопротивлением и индуктивностью

Цепь переменного тока с элементами активного сопротивления r и индуктивностью L, соединенными последовательно, изображена на рис.32. Сила тока i в такой цепи зависит от приложенного напряжения u, э.д.с. самоиндукции e_L, которая возникает в цепи, и активного сопротивления r. Поэтому уравнение электрического равновесия, написанное по второму закону Кирхгофа, имеет вид:

u= u_R + (-e_L)= iR +Ldi/dt.

Если по цепи протекает синусоидальный ток i=I_msinωt, то, как установлено выше, напряжение u_R на сопротивлении r совпадает по фазе с током, а напряжение u_L на индуктивности L опережает ток на π/2. Следовательно, напряжение на зажимах всей цепи будет равно:

.

Для сложения этих синусоидальных напряжений воспользуемся графическим методом. Принимая за исходную кривую тока (рис.32) и производя сложение ординат кривых u_R и u_L получим u =U_m sin (ωt+φ_u) = U_msin(ωt+φ), т.к. φ_i = 0 и, следовательно, φ_u =φ.

а) б) г)

Рис.32. Неразветленнная цепь с r, L и ее диаграммы

Таким образом, падения напряжения на участках цепи и напряжение u на зажимах цепи также изменяется по закону синуса, причем напряжение u опережает ток i на угол φ. Поскольку напряжения и ток синусоидальны, то на основании уравнения для мгновенных значений напряжений можно написать уравнение для векторов действующих значений напряжений Ū=Ū_r+Ū_L=Īr+Īx_L.

Это геометрическое суммирование произведено на векторной диаграмме (рис.32). Принимая за исходный вектор силы тока Ī, откладывая вектор Ū_r=ĪR по направлению вектора тока, а вектор Ū_L= Īx_L под углом π/2 в сторону опережения вектора тока. Геометрическая сумма этих векторов равна вектору приложенного напряжения Ū. Такую диаграмму называют треугольником напряжений. Из этого треугольника имеем: U² = I²R² + I²x_L².

Решая это уравнение относительно силы тока I, получим.

Это соотношение выражает закон Ома для действующих значений, а входящая в его состав величина z=, имеющая размерность сопротивления, называется полным сопротивлением неразветвленной цепи с сопротивлением и индуктивностью.

Если все стороны треугольника напряжений уменьшить в I раз, то получим треугольник сопротивлений (рис.32). Угол сдвига между током и напряжением можно найти из треугольника напряжений или треугольника сопротивлений по формуле:

φ =. Сдвиг по фазе между напряжением и током, обусловленный индуктивностью принято считать положительным.

Цепь с емкостью

Цепь переменного тока с емкостью С показана на рис.33. Если на зажимы такой цепи подать синусоидальное напряжение u= U_msinωt, то при увеличении напряжения элемент емкости (конденсатор) будет заряжаться, а при уменьшении – разряжаться. В результате на обкладках конденсатора будет происходить изменение заряда со скоростью i=, где u_c – напряжение на зажимах конденсатора, называемое емкостным напряжением.

а) б) в)

Рис.33. Цепь с емкостью и ее диаграммы

При этом во внешней по отношению к конденсатору части цепи происходит движение электронов (ток проводимости), а в конденсаторе вследствие поляризации и деполяризации диэлектрика возникает ток смещения, равный току проводимости. Электрическая цепь оказывается непрерывной.

Поскольку напряжение на зажимах конденсатора изменяется по синусоидальному закону u = U_cmsinωt = u_c = U_Cmsinωt, то сила тока в цепи i, содержащей емкость, будет:

i=Cdu_c/dt= ωCU_mcosωt = I_msin(ωt+π/2),где I_m = ωCU_Cm – амплитуда силы тока.

Действующие значения силы тока и напряжения связаны между собой уравнением закона Ома:

. Величина х_с = 1/(ωC)= fC, имеющая размерность сопротивления, называется емкостным сопротивлением. Это сопротивление представляет собой расчетную величину, с помощью которой учитывается влияние изменения электрического поля конденсатора на ток цепи. Другими словами, емкостное сопротивление отражает в расчете противодействие конденсатора току в цепи.Сопоставление уравнений u_c=U_Cmsinωt и i=I_msin(ωt+π/2) показывает, что в цепи с емкостью напряжение отстает от тока на четверть периода.

Цепь с активным сопротивлением и емкостью

Цепь переменного тока с элементами активного сопротивления r и емкости С, соединенными последовательно, изображена на рис.34. Сила тока i в такой цепи зависит от приложенного напряжения u, напряжения u_c =, которое создается на емкости С, и сопротивления r. Поэтому уравнение электрического равновесия цепи согласно второму закону Кирхгофа имеет вид:

u = u_R + u_c = iR +.

а) б) г)

Рис.34. Цепь с активным сопротивлением и емкостью

Если по цепи проходит синусоидальный ток, то напряжение u_r на сопротивлении r совпадает по фазе с током, а напряжение u_c на емкости С отстает от тока на четверть периода:

U_R= I_mrsinωt=U_rmsinωt;

u _c =.

Следовательно, напряжение на зажимах всей цепи равно:

u = U_rm sinωt + U_Cmsin(ωt-π/2).

Произведя сложение мгновенных значений этих напряжений графически (рис.34, б), найдем u=U_msin(ωt-φ_u) = U_msin(ωt-φ),

т.к. φ_i =0 и, следовательно, φ_u=φ.

Таким образом, падения напряжения на участках цепи и напряжения на зажимах всей цепи изменяются по синусоидальному закону. Поэтому можно написать уравнение электрического равновесия для векторов их действующих значений напряжений: Ū=Ū_r +Ū_c = ĪR+Īx_c. Это суммирование векторов произведено на диаграмме напряжений (рис.34, в), из которой имеем U² =I²R² + I²(. Решая это равенство относительно силы тока в цепи, найдем:

.

Это уравнение выражает закон Ома для цепи с активным сопротивлением и емкостью, а величина z= является ее полным сопротивлением. Уменьшив все стороны треугольника напряжений в I раз, получим треугольник сопротивления (рис.24, г) из которого находится угол сдвига между напряжением и током: φ=arcsin =. Cдвиг по фазе между напряжением и током, обусловленный емкостью, принято считать отрицательным.

Цепь с активным сопротивлением, индуктивностью и емкостью

Цепь переменного тока с элементами активного сопротивления r, индуктивности L и емкости С, соединенными последовательно, изображена на рис.35. Сила тока i в такой цепи зависит от приложенного напряжения u, индуктивного u_L и емкостного u_c напряжений, возникающих в цепи, и активного сопротивления r. Поэтому уравнение электрического равновесия цепи, написанное по второму закону Кирхгофа, имеет вид:

u =u_R +u_L + u_c = iR +.

Если сила тока в цепи i=I_msinωt, то, как установлено ранее, напряжения на отдельных элементах цепи определяются следующим образом:

u_r= RI_msinωt; u_L=ωLI_msin(ωt+π/2); u_c =.

Найдем мгновенное значение входного наряжения:

u = U_{R m}sinωt +U_Lm sin(ωt+π/2) +U_Cm sin(ωt- π/2).

Поскольку напряжения u_L и u_c сдвинуты относительно друг друга на угол π, то их сумма, называется реактивным напряжением, определится равенством:

u_р = U_Lm sin(ωt+π/2)+ U_Cm sin(ωt- π/2)=(U_Lm- U_Cm) sin(ωt+π/2)=U_рm sin(ωt+π/2).

При этом возможны три характерных случая: когда U_Lm> U_Cm их разность положительна, когда U_Lm< U_Cm их разность отрицательна, а когда U_Lm= U_Cm их разность равна нулю.Напряжение на зажимах всей цепи выразится формулой:

u= U_{R m}sinωt + U_рm sin(ωt+π/2).

а) б)

Рис. 35. Неразветвленная цепь с R, L, C и ее диаграмма

Произведя сложение этих напряжений графически (рис.35, б) для случая U_Lm> U_Cm и учитывая, что φ_i =0 и φ_u=φ, получим:

u= U_m sin(ωt+ φ_u)= U_m sin(ωt+ φ).

Поскольку ток и напряжение синусоидальны, то действующее значение напряжения на зажимах цепи в соответствии со вторым законом Кирхгофа определится геометрической суммой Ū=Ū_r +Ū_L + Ū_c.

На рис.36 изображены векторные диаграммы при U_L> U_C и U_L< U_C. При U_L= U_C вектор напряжения совпадает по фазе с вектором тока. Действующее реактивное напряжение U_р определится алгебраической суммой:

U_р = U_L – U_C = IωL - = I(ωL -) =Ix.

Величина (ωL-)=х_L –x_C =x называется реактивным сопротивлением. Эта алгебраическая величина, которая при х_L>x_C положительна, при х_L<x_C - отрицательна, а при х_L=x_C равна нулю.

Рис. 36. Векторные диаграммы цепи с R, L, C

Из векторных диаграмм напряжений (рис.36) находим составляющие напряжения U_r=Ucosφ и U_р= Usinφ, а также силу тока в цепи:

I=.

В этом уравнении, представляющем собой закон Ома, величина z= является полным сопротивлением.

Сдвиг по фазе между током и напряжением определится (рис.36) выражением:

φ=arctg.

В зависимости от соотношения индуктивного и емкостного сопротивлений разность фаз напряжения и тока может быть положительной, отрицательной или равной нулю.

В общем случае для n последовательно соединенных потребителей, каждый из которых обладает активным и реактивным сопротивлением, можно написать:

U_r = где R =; U_р = где х=;

U =, где z =.

В этих выражениях активная составляющая общего напряжения равна арифметической сумме активных составляющих напряжений всех участков, а реактивная составляющая алгебраической сумме реактивных составляющих напряжений всех участков. Соответственно активное сопротивление цепи равно арифметической сумме активных сопротивлений всех участков, а реактивное — алгебраической сумме реактивных сопротивлений всех участков.