Системы материальных точек. Закон движения центра масс

Любое абсолютно твердое тело можно представить как совокупность жестко связанных элементарных объемов, или как систему материальных точек. Для описания динамики системы точек широко применяется понятие центра масс системы. Центром масс системы материальных точек называют точку С, радиус - вектор которой определяется формулой:

, (2.9)

где m_i и - масса и радиус – вектор i -ой точки системы. Соответственно соотношения для координат центра масс системы равны

, и .

Скорость центра масс системы получим, дифференцируя выражение (2.10) по времени:

. (2.10)

Ускорение центра масс:

. (2.11)

Рассмотрим систему, состоящую из n материальных точек. Силы, действующие на точки системы, можно подразделить на внутренние и внешние.

Внутренними называются силы, с которыми точки системы действуют друг на друга, а внешние - силы, обусловленные действием тел, не принадлежащих данной системе. Если внешние силы отсутствуют, система называется замкнутой. Обозначим внутреннюю силу, действующую i -юна точку системы со стороны k -й точки (рис. 2.2), а - равнодействующую внешних сил, действующих на i -ю точку. Запишем второй закон Ньютона через скорость в виде (2.2) для трех частиц:

Сложим правые и левые части этих трех уравнений, учитывая, что сумма всех внутренних сил согласно 3-му закону динамики равна нулю и используя (2.12):

, (2.12)

где m = m ₁ + m ₂ + m ₃.

Для системы из n точекуравнение (2.13) примет вид:

(2.13)

где

Уравнение (2.13) выражает теорему о движении центра масс системы: центр масс любой системы материальных точек движется так, как если бы вся масса системы была сосредоточена в этой точке и к ней были бы приложены все внешние силы. При этом ускорение центра масс не зави­сит от точек приложения внешних сил.