Случайной вели­чины

ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИСКРЕТНОЙ

Закон распределения полностью характеризует случайную величину. Од­нако, в ряде случаев, ко­гда закон распределения неизвестен, можно обойтись не­сколь­кими числами, отражающими наиболее важные особенности случайной вели­чины. К числу важных числовых характеристик относятся: математическое ожида­ние, которое приближенно равно среднему значению случайной величины, и диспер­сия, пока­зывающая, как рассеяны возможные значения случайной величины вокруг ее математического ожидания.

■ Математическое ожидание дискретной случайной величины X (M (X)) – сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности, т.е. M (X) = x ₁ p ₁ + x ₂ p ₂ + … + x_np_n = x_ip_i.

▲ Теорема 2.20. Математическое ожидание постоянной ве­личины C равно самой по­стоянной, т.е. M (C) = C.

▲ Теорема 2.21. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т.е. M (CX) = CM (X).

▲ Теорема 2.22. Математическое ожидание произведения конечного числа незави­симых случайных величин равно произведению их математических ожиданий, т.е. M (A ₁ A ₂ … A_n) = M (A ₁)· M (A ₂)·… · M (A_n).

▲ Теорема 2.23. Математическое ожидание суммы конеч­ного числа случайных вели­чин равно сумме их математи­ческих ожиданий, т.е. M (A ₁+ A ₂+…+ A_n) = M (A ₁)+ M (A ₂) +…+ M (A_n) или M ( A _i) = M (A _i).

■ Дисперсия случайной величины X (D (X)) – математи­ческое ожидание квадрата отклонения случайной вели­чины от ее математического ожидания, т.е. D (X) = M [ X – M (X)]².

▲ Теорема 2.24. Дисперсия равна разности между матема­тическим ожиданием квад­рата случайной величины X и квадратом ее математического ожидания, т.е. D (X) = M (X ²) – [ M (X)]².

На практике для вычисления дисперсии обычно исполь­зуют эту формулу. Здесь X ² – случайная величина, возмож­ные значения которой равны квадратам возможных значе­ний величины X, а вероятности возможных значений X ² совпадают с соответст­вующими вероятностями значений X.

▲ Теорема 2.25. Дисперсия постоянной величины C равна нулю, т.е. D (C) =0.

▲ Теорема 2.26. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат, т.е. D (CX) = C ²· D (X).

▲ Теорема 2.27. Дисперсия суммы (разности) конечного числа независимых случай­ных величин равна сумме их дисперсий, т.е. D (A ₁± A ₂± …± A_n) = D (A ₁)+ M (A ₂)+…+ M (A_n) или D ( A _i) = D (A _i).

■ Среднеквадратическое отклонение (стандартное от­кло­нение) случайной вели­чины X (s(X)) – квадратный корень из дисперсии, т.е. s(X) = . Эта характе­ри­стика имеет ту же размерность, что и сама случайная вели­чина.

▲ Теорема 2.28. Пусть C – постоянная величина, а X – про­извольная дискретная слу­чайная величина. Тогда: а) s(C) = 0; б) s(С· X) = | C |·s(X).

Пример 2.26. Найти математическое ожидание, дисперсию и сред­нее квадратическое отклонение дискретной случайной величины, за­данной законом распределения, показанном на рис. 2.6а.

Решение. Пользуясь определением математического ожидания дискретной случайной величины, будем иметь M (X) = x ₁· p ₁ + x ₂· p ₂ + x ₃· p ₃ = -1·0,6 + 1·0,3+ 2·0,1 = - 0,1. Для нахождения дисперсии вос­пользуемся формулой из теоремы 2.24. Для этого зададим закон распределения случайной величины X ² (см. рис. 2.6б) и найдем M (X ²): M (X ²) = x ₁²· p ₁ + x ₂²· p ₂ + x ₃²· p ₃ = 1·0,6 + 1·0,3+ 4·0,1 = 1,3. Тогда D (X) = M (X ²) – [ M (X)]² = 1,3 – (-0,1)² = 1,29 и s(X) = = » 1,13.

Ответ: M (X) = - 0,1; D (X) = 1,29; s(X)» 1,13.

Пример 2.27. На колесе игры в рулетку имеется 38 одинаково рас­положенных гнезд, которые ну­меруются так: 00, 0, 1, 2, …, 35, 36. Иг­рок может поставить 1 доллар на любой номер. Если его номер выиг­рал, игрок получает 36$ (35$ выигрыша плюс 1$ ставки). Найти мате­матическое ожидание выиг­рыша игрока.

Решение. Составим законом распределения (рис. 2.6в). Тогда M (X) = x ₁· p ₁ + x ₂· p ₂ = -1·(37/38) + 35·(1/38) = - 1/19. Как видим, игра не яв­ляется «справедливой», игорный дом обеспечивает себе средний до­ход на «накладные расходы» и риск.

Ответ: -1/19.

а) б) в)

Рис. 2.6