Сложные сигналы и их спектры

Ранее мы рассматривали передачу сообщений с помощью гармонических колебаний высокой частоты путем модуляции (изменения) какого-либо параметра этих колебаний (амплитуды, частоты или фазы). Гармоническое колебание является наиболее простым, его характер изменения во времени (график) представляет собой синусоиду или косинусойду. В радиоэлектронике кроме временных изображений сигналы представляют в виде зависимости амплитуды и частоты, т.е. частотное представление, которое называют спектром. На рис.3.1 показан спектр гармонического колебания, уравнение которого

U=U_m cos ω t,

где U_m – амплитуда колебания;

ω – круговая частота .

U

U_m

0 ω ω

Рис. 3.1 Спектр гармонического колебания

Т.е. спектр простого колебания состоит из одной линии.

Если промодулировать это колебание, например по амплитуде, то получим сложный радиосигнал, спектр которого будет более сложным.

Спектр амплитудно – модулированных колебаний:

Пусть колебания несущий имеют вид

U_H=U_H cos ω t, (3.2)

где U_m – амплитуда несущий;

ω – круговая частота.

Модулирующий сигнал представим также в виде косинусойды (огибающая)

U_ОГ=mU_HcosΩ t, (3.3)

где m – коэффициент модуляции;

Ω – частота огибающей.

Коэффициент модуляции (его называют также «глубина модуляции») есть отношение амплитуды огибающей к амплитуде несущей

, (3.4)

тогда mU_H – есть амплитуда огибающей.

С учетом выражений (3.2) и (3.3) модулированные колебание запишется в виде

U_M=U_Hcosωt+mU_H cos Ω t ^. cos ω t (3.5)

Используя формулу произведения косинусов двух углов

, (3.6)

получим

(3.7)

Из полученного выражения (3.7) видно, что амплитудно – модулированное колебание состоит из трех гармонических колебаний: колебания несущей частоты «ω» и двух частот «ω - Ω» и «ω + Ω» которые называют боковыми частотами (нижней боковой и верхней боковой).

Спектр АМ- колебания представлен на рис.3.2. Он состоит из трех линий. Такой спектр называют линейчатым спектром.

U_H

0 ω – Ω ω ω + Ω ω

Рис. 3.2. Спектр АМ-колебания

На практике сигналы сообщения являются непрерывными случайными функциями времени, поэтому спектры таких сигналов будут содержать множество гармонических составляющих, в общем случае бесконечное число.

Для определения спектров сложных сигналов пользуются преобразованием Фурье. Смысл, которого состоит в том, что любую непрерывную периодическую функцию

S (t) = S (t + nT), (3.8)

где Т – период функции,

n – целое число (n=1, 2, 3…….)

можно представить в виде

, (3.9)

т.е. в виде постоянной составляющей q_o (среднего за период значения) и суммы гармонических составляющих с частотами ω₁, 2ω₁,3ω₁………, где

Частоту ω₁ называют первой (основной) гармонической, а остальные гармонические колебания с частотами, кратными основной, называют высшими гармониками (f_n = nf₁).

На рис. 3.3 показано сложное гармоническое колебание составляющей (q_o) и двух гармонических составляющих с частотами ω₁ и 3ω₁ и амплитудами А₁и А₃ и сдвигами фаз ψ₁ и ψ₃.

Рис.3.3. Сложное периодическое колебание

Таким образом, периодический сигнал сложной формы можно представить в виде ряда Фурье

(3.10)

где U_О – амплитуда основной гармоники;

U_n – амплитуды высших гармоник;

μ_n - фазовые сдвиги гармоник.

Амплитуда первой гармоники определится

(3.11)

А амплитуды высших гармоник определяются коэффициентами ряда Фурье

(3.12)

(3.13)

(3.14)

(3.15)

Спектры амплитудно – модулированных сигналов при сложных сигналах сообщения не будут линейчатыми, а будут иметь вид

U_m

U_n

0 - ∆ω +∆ω ω

Рис.3.4. Спектр сложного АМ – колебания

Одной линии на частоте ω с амплитудой несущих колебаний U_n и двух сплошных боковых полос «- ∆ω» и «+ ∆ω», как это показано на рис. 3.4.

Из сказанного следует, что чем сложнее сигнал сообщения, тем более широкая полоса частот требуется от аппаратуры для передачи этого сообщения без существенных искажений.

В современной технике радиосвязи для размещения в эфире множества радиостанций в качестве несущих колебаний используют все более высокие частоты (десятки и сотни мегагерц).