Теорема о существовании обратной функции

Определение обратной функции

Сравнение функций

Теорема о существовании обратной функции

Определение обратной функции

План

Лекция 9. Обратная функция и ее свойства

Пусть на множестве определена функция со значениями во множестве. Функция такая, что для существует и только один такой, что

.

Тогда на множестве как на области определения можно определить функцию

со значениями во множестве, которая называется обратной для и обозначается.

Свойства:

·;

·.

Если графики прямой и обратной функций строятся в одной системе координат, то эти графики совпадают. Если же обратная функция записывается в виде путем переименования переменных на, а на, то графики будут симметричными относительно биссектрисы І и ІІІ координатных углов. Для функций и область определения и область значений меняются местами.

Пример. Пусть. Обратная функция будет иметь вид:. После переименования переменных обратная функция выглядит как (рис.1).

Теорема 1. Пусть функция определена, непрерывна и строго монотонна на. Тогда на сегменте (если монотонно возрастает) или на (если монотонно убывает) существует обратная функция, которая будет строго монотонной и непрерывной на этом сегменте, имеет такой же характер монотонности, что и.

Доказательство. Для определенности будем считать, что строго монотонно возрастает. Покажем, что для найдется и только один, что.

Поскольку - непрерывна и монотонна на, область ее значений -. Из этого вытекает существование. Покажем, что такой - единственный. Предположим, что это не так, то есть, что существуют, что. Пусть для определенности, тогда благодаря строгому монотонному возрастанию имеем:

.

Получили противоречие. Таким образом, на определена обратная функция.

Покажем, что ведет себя так, как, то есть строго монотонно возрастает. Предположим, что это не так, то есть что, такие, что, а. Но для благодаря монотонному возрастанию вытекает, что. Получили противоречие, поэтому наше предположение является ошибочным и строго монотонно возрастает на.

Покажем, что - непрерывна на. Поскольку - монотонна, а область ее значений есть сегмент - сегмент, то она будет и непрерывной (по теореме 3 лекции 5).

Теорема 2. Пусть функция определена и непрерывна на промежутке. Для того, чтобы эта функция имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы она была строго монотонна на промежутке. (без доказательства).

Пример. Поскольку функция не является строго монотонной на, то на всей своей области определения эта функция не имеет обратную. Для определения обратной выбирается такой сегмент из области определения, на котором строго монотонна - (рис.2.). Обратная функция, а после переименования переменных - имеет областью определения сегмент, а областью значений -, является строго монотонно возрастающей.