Нормальное распределение. Непрерывная случайная величина Х имеет нормальный закон распределения, с параметрами a (математическое ожидание) и s (среднее квадратическое отклонение)

Непрерывная случайная величина Х имеет нормальный закон распределения, с параметрами a (математическое ожидание) и s (среднее квадратическое отклонение), если ее плотность вероятности имеет вид:

(6)

Рис.2. График плотности нормального распределения

График функции (6) называют нормальной кривой (рис.2.)

Функция распределения нормально распределенной случайной величины имеет вид:

(7)

Нормальное распределение с параметрами называется нормированным или стандартным, при этом плотность распределения принимает вид:

(8)

Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины Х в интервал определяется формулой:

(9)

где - функция Лапласа

С помощью функции Лапласа определяют вероятность отклонения нормальной случайной величины от среднего значения используя неравенство , здесь а математическое ожидание (среднее значение) нормально распределенной величины Х:

(10)

где

Нормальное распределение является наиболее часто встречающимся в различных случайных явлениях природы.

Например, нормальное или близко к нормальному имеют распределение, следующие величины:

ü вес пойманной рыбы;

ü стоимость акций на рынке;

ü ошибки параметров компьютерных систем;

ü вес и размеры выращенных овощей;

ü цена на определенный товар или изделие;

ü случайные величины, образованные суммированием большого количества случайных слагаемых.

Пример 5: Случайная величина Х имеет нормальное распределение и известны числовые характеристики . Записать плотность распределения и функцию распределения вероятностей случайной величины Х.

Решение: Поскольку случайная величина Х - нормально распределена и по условию задачи параметры распределения величины Х:

Подставим эти значения в формулу (6), получим

0

Теперь по формуле (7) найдем функцию распределения вероятностей

Ответ: и

Пример 6: Случайная величина Х имеет нормальное распределение и известны числовые характеристики . Найти 1) , 2) .

Решение: Так как случайная величина Х - нормально распределена и по условию задачи параметры распределения величины Х:

Подставим эти значения в формулу (9), получим

1)

2)

Ответ: и

Пример 7: Вес пойманной рыбы подчиняется нормальному закону распределения с параметрами . Найти 1) , 2) .

Решение: Так как случайная величина Х - нормально распределена и по условию задачи параметры распределения величины Х:

Подставим эти значения в формулу (9), получим

3)

4)

Ответ: и