2014-02-12
11534
Рассмотрим совместную систему линейных уравнений, записанную в матричной форме:
АХ = В. (5.24)
Если в системе (5.24) заменить все свободные члены нулями, то получим соответствующую однородную систему
АХ = 0. (5.25)
Теорема 5.7. Произвольное решение Х совместной системы уравнений (5.24) определяется формулой
, (5.26)
где К – какое-нибудь решение системы (5.24); 
– фундаментальная система решений соответствующей однородной системы (5.25); 
– произвольные числа.
□ Сначала покажем, что формула (5.26) при любых значениях определяет решение системы уравнений (5.24). Подставим выражение для Х из формулы (5.26) в систему (5.24):
А(
)=АК+
=В+
=В.
Здесь АК = В, так как К – решение системы (5.24), 
, так как 
–решения системы (5.25).
Мы получили, что 
обращает уравнение в тождество, следовательно, является решением системы (5.24).
Теперь надо установить, что каждое решение L системы
уравнений (5.24) можно представить в виде (5.26). Так как L и
К – решения системы уравнений (5.24), то АL = В и АК = В. Отсюда А(L–К) = АL–АК = В–В = 0, т.е. вектор (L–К) является решением однородной системы уравнений (5.25) и, значит, разлагается по ее фундаментальной системе решений :
|
|
|
L–К = 
, или L = К+.
Следовательно, решение L получается из формулы (5.26) при 
. ■
Замечание. Общее решение однородной системы уравнений в векторной форме имеет вид
,
где – фундаментальная система решений данной однородной системы, а – произвольные действительные числа. В самом деле, в формуле (5.26) в качестве решения К можно взять вектор 0=(0,0,…,0).
Пример. Найти в векторной форме общее решение системы линейных уравнений:
○ Приведем расширенную матрицу данной системы уравнений к ступенчатому виду:
~
~
.
Исходная система уравнений эквивалентна системе
(5.27)
Соответствующая однородная система уравнений эквивалентна системе
(5.28)
Найдем какое-нибудь решение К системы (5.27). Для этого придадим свободным неизвестным 
какие-нибудь значения, например, 
. Тогда 
и К = (1;0;0;0;0).
Теперь найдем фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы уравнений (5.28).
Подставляя наборы значений для свободных неизвестных
;
;
в систему (5.28), получим решения 
, 
, 
, которые образуют фундаментальную систему решений.
Таким образом, общее решение данной системы в векторной форме имеет вид
,
где 
– произвольные действительные числа. ●
