Вычисление определителя и обратной матрицы

Схема единственного деления.

Задание 3.1.

Решить систему уравнений точными методами.

Для удобства вычисления по методу Гаусса производятся по схеме единственного деления. Процесс преобразования матрицы к треугольной называется прямым ходом, а вычисление значений неизвестных – обратным ходом.

Количество разделов прямого хода равно числу неизвестных системы уравнений. В раздел I схемы записываются коэффициенты при неизвестных; свободные члены, контрольные суммы и строчные суммы, равные сумме всех элементов строки. Последняя строка (b_1j) получается делением первой строки раздела (a_1j) на ведущий элемент (a₁₁ –первый элемент раздела):

Элементы раздела II вычисляются по формуле: a_ij^(II)= a_ij^(I)– a_i1^(I) · b_1j . Последняя строка раздела вычисляется делением первой строки раздела на ведущий элемент.

Аналогично вычисляются элементы следующих разделов.

Обратный ход начинается с вычисления последнего неизвестного системы уравнений и заканчивается вычислением первого неизвестного, используя лишь последние строки каждого раздела.

Строчные суммы всегда равны суммам элементов своей строки (без контрольной суммы), Над контрольными суммами в каждой строке проделываются те же операции, что и над остальными элементами этой строки. При отсутствии ошибок в вычислениях контрольные суммыприближенноравны строчным.

При необходимости уточнения корней х⁽⁰⁾ системы уравнений необходимо:

- вычислить невязки δ =В – Ах⁽⁰⁾;

- выписать невязки в столбец ε схемы;

- считая столбец ε столбцом свободных членов, вычислить ε₁, ε₂, …ε_n как значения неизвестных

- найти уточненные значения неизвестных: х = х⁽⁰⁾ + ε

ЗАДАЧА 3.2.

По схеме единственного деления найти корни системы уравнений

РЕШЕНИЕ

Раздел	x1	x2	x3	Свободные члены	Контрольные ∑	Строчные ∑	ε
Прямой ход	I b1j							0,05 0,02
	0,67	0,67	4,33	6,67	6,67	0,017
II b2j		1,66 0,66	0,66 1,66	5,34 6,34	7,66 8,66	7,66 8,66	-0,034 -0,014
		0,4	3,22	4,61	4,62	-0,031
III b3j			1,4	4,2	5,62	5,6	0,006
				4,01	4,01	0,00014
Обратный ход				2,02 0,97			-0,02 0,03

х₃=3+0=3; х₂=2,02–0,02=2; х₁=0,97+0,03=1

Метод Гаусса может быть использован для вычисления главного определителя матрицы. Он равен произведению ведущих элементов всех раздела схемы единственного деления.

Для нахождения обратной матрицы используется основное соотношение:
А∙А^-1=Е, где Е – единичная матрица.

Элементы обратной матрицы будем считать неизвестными. Полученные n систем линейных уравнений имеют одну и ту же матрицу А и различные свободные члены, составляющие единичную матрицу. Поэтому эти системы можно решать по схеме Гаусса. Решения x_ij, найденные по схеме единственного деления, и будут элементами обратной матрицы А^-1.

ЗАДАЧА 3.3.

Найти обратную матрицу и главный определитель для матрицы

РЕШЕНИЕ.

Раздел	x1j	x2j	x3j	Свободные члены	∑
j=1	j=2	j=3
Прямой ход	I
	0,67	0,67	0,33			2,67
II		1,66 0,66	0,66 1,66	-0,66 -0,66			2,66 2,66
		0,4	-0,4	0,6		1,6
III			1,4	-0,4	-0,4		1,6
			-0,29	-0,29	0,71	1,14
Обратный ход				-0,29 -0,4-0,4∙(-0,29)=-0,28 0,33-0,67∙(-0,28)-0,67∙(-0,29)=0,71	-0,29 0,72 0-0,67∙0,72-0,67∙ (-0,29)=-0,29	0,71 -0,28 -0,29	1,14 1,14 1,14

∆=3 ∙ 1,66 ∙ 1,4=6,97

А^-1=