Цилиндрическая система координат

Эта система координат вводится при помощи соотношений

x = rcosj, y = rsinj, z = z,

т.е. q ₁ = r, q ₂ = j, q ₃ = z.

Очевидно, что координатные линии r (или q ₁ линии) представляют собой прямые, проходящие через ось Oz, перпендикулярно этой оси (см. рис. 9.2). Координатные линии j (q ₂ линии) – окружности с центром на оси Oz, плоскости которых параллельны плоскости xOy.

Координатные линии z (q ₃ линии) – прямые, параллельные оси Oz.

Найдем векторы r ₁, r ₂, r ₃:

,

,

.

Непосредственно легко убедится, что базис { r ₁, r ₂, r ₃} является ортогональным.

Вычислим коэффициенты Ламе для цилиндрических координат

(9.23)

В таком случае основные дифференциальные операции векторного анализа будут иметь вид:

, (9.24)

, (9.25)

, (9.26)

, (9.27)

Пример 9.1. Перейти к цилиндрической системе координат для векторного поля

и найти div a и rot a.

Решение. Так как в данном случае x i +y j =r r ₁, то

,

т.е.

Тогда

,

.