Масса плоской пластинки

Требуется найти массу m плоской пластинки D, зная что ее поверхностная плотность

γ = γ (x, y) есть непрерывная функция координат точки (x, y). Разобьем пластинку D произвольным образом на n элементарных частей D_i, площади которых равны D S_i, i = 1, 2, …, n.

В каждой области D_i возьмем произвольную точку M _i (x _i, y _i) и вычислим плотность в ней

γ (x _i, y _i).

Если области D_i достаточно малы, то плотность в каждой точке (x, y) D_i мало отличается от значения γ (x _i, y _i). Считая приближенно плотность в каждой точке области D_i постоянной, равной γ (x _i, y _i), можно найти ее массу m _i: m _i ≈ γ (x _i, y _i) · D S_i.

Т.к. масса m всей пластинки D равна m = , то m _i ≈ γ (x _i, y _i) · D S_i. (6)

Точное значение массы получается как предел суммы (6) при условии n → ∞ или d = d_i → 0:

m = γ (x _i, y _i) D S_i, или, согласно равенству (3),

m = . (7)

Т.о., двойной интеграл от функции γ (x, y) численно равен массе пластинки, если подынтегральную функцию γ (x, y) считать плотностью этой пластинки в точке (x, y). В этом состоит физический смысл двойного интеграла.