Расчет прямозубых цилиндрических передач на прочность

Расчет прямозубых и косозубых цилиндрических передач стандартизован ГОСТ 21354-87. Рассмотрим основы расчета с некоторыми упрощениями.

Силы в зацеплении. На рисунке 11.6 F_n – нормальная сила действующая по линии зацепления к рабочим поверхностям зубьев. Переносим силу F_n в полюс зацепления и раскладываем на окружную силу F_t и радиальную силу F_r. Такая расчетная схема используется для расчета валов и опор. При известном Т₁ можно записать

, (11.4)

далее через нее выражают остальные составляющие:

(11.5)

Расчет зубьев на контактную прочность. Наименьшей контактной усталостной прочностью обладает околополюсная зона, где наблюдается однопарное зацепление (рисунок 11.3).

Рисунок 11.6 – Силы, действующие в прямозубом цилиндрическом зацеплении

Рисунок 11.7 – Схема к расчету прочности зубьев по контактным напряжениям

Поэтому расчет контактных напряжений принято выполнять при контакте в полюсе зацепления (рисунок 11.7). Контакт зубьев рассматривают как контакт двух цилиндров с радиусами ρ₁ и ρ₂. Контактные напряжения определяют по формуле (1.4)

.

Для прямозубых передач с учетом формул (11.3) – (11. 5)

. (11.6)

Радиусы кривизны эвольвент зубьев в зоне контакта

. (11.7)

Тогда

, (11.8)

где ,знак «+» – для наружного, а «–» – для внутреннего зацепления.

Подставляя полученные выражения (11.6)и(11.8)в формулу (1.4) и заменяя получаем

. (11.9)

Параметр u = называют передаточным числом.

Значения расчетных контактных напряжений одинаковы для шестерни и колеса. Поэтому расчет выполняют для того из пары колес, у которого меньше допускаемое напряжение _нр.

Формулу (11.9) используют для проверочного расчета, когда все необходимые размеры и другие параметры передачи известны. При проектном расчете требуется определить размеры передачи по заданным условиям: крутящему моменту Т₁ или Т₂ и передаточному числу и. Для этого формулу (11.9) решают относительно d₁ или а. Неизвестные параметры выбирают по рекомендациям из справочников. В нашем случае принимаем d_w1 = d ₁; = = 20° (sin2= 0,64), K_Hv = 1,15 (этот коэффициент зависит от окружной скорости и, которая пока не известна, поэтому принято некоторое среднее значение). Из составляющих коэффициента К_н [см. формулу (11.3)] остается К_нβ.. Вводим новое обозначение – коэффициент ширины шестерни относительно делительного диаметра. Подставляя принятые значения в формулу (11.9) и решая относительно d₁, получаем

. (11.10)

Решая относительно межосевого расстояния а, заменяем : и вводим – коэффициент ширины колеса относительно межосевого расстояния. После преобразований с учетом зависимости

(11.11)

получим

. (11.12)

При расчетах цилиндрических зубчатых передач чаще используют формулу (11.12), так как габариты передачи определяет межосевое расстояние. Значения К и выбирают по рекомендациям из справочников.

Выбор модуля и числа зубьев. Величину модуля зацепления выбирают по соотношению

. (11.13)

Значение модуля округляют до ближайшего стандартного по справочникам. Для силовых передач обычно рекомендуют принимать m > 1,5 мм. При известном модуле определяют и уточняют остальные параметры передачи: диаметр делительной окружности шестерни

,

число зубьев шестерни ;число зубьев колеса z₂ = z_tu;диаметр делительной окружности колеса d₂ = mz₂;межосевое расстояние

a = 0,5(d₂ ± d₁).

Для передач без смещения должно быть выполнено условие:

z_l > z _min = 17.

Для уменьшения шума в быстроходных передачах рекомендуют брать z₁ > 25. Для окончательного утверждения выбранного значения модуля необходимо проверить прочность зубьев по напряжениям изгиба.

В случае неудовлетворительного результата увеличивают m и определяют новые значения z.

Расчет прочности зубьев по напряжениям изгиба. При нагружении зуб испытывает сложное (плоское) напряженное состояние (рисунок 11.8). Наибольшие нормальные напряжения при изгибе образуются у основания зуба в зоне перехода эвольвенты в гальтель. В этом месте наблюдается и концентрация напряжений. При расчете допустим следующее (рисунок 11.8):

1. Вся нагрузка в зацеплении передается одной парой зубьев и приложена к вершине зуба.

2. Зуб рассматриваем как консольную балку, для которой справедливы гипотеза плоских сечений или методы сопротивления материалов.

Силу F_n переносим по линии действия на ось симметрии зуба и раскладываем на составляющие F_t и F_y. Нормальные напряжения при изгибе в опасном сечении, расположенном вблизи хорды основной окружности,

, (11.14)

где — момент сопротивления сечения при изгибе;

А = b_w s — площадь у основания зуба; b_w — длина зуба; s — ширина зуба у основания; — плечо, на котором действует окружная сила F_t,.

Знак «–» в формуле (11.14) указывает, что за расчетные напряжения принимают напряжения на растянутой стороне зуба, так как именно здесь возникают трещины усталостного разрушения (для стали растяжение опаснее сжатия).

Учитывая геометрическое подобие зубьев различного модуля, величины и s выражают через безразмерные коэффициенты:

и , (11.15)

где т – модуль зубьев.

После подстановки и введения расчетных коэффициентов получим:

, (11.16)

где K_F – коэффициент расчетной нагрузки при изгибе; К_Т – теоретический коэффициент концентрации напряжений, который выбирают по рекомендациям из справочников. Обозначим коэффициент формы зуба.

. (11.17)

Для прямозубых передач расчетную формулу (11.16) записывают в виде

, (11.18)

где _FP – допускаемое напряжение изгиба.

При проектировании открытых зубчатых передач проектный расчет выполняют по напряжениям изгиба, при этом формулу (11.18) решают относительно модуля, используя следующие замены b_w = , , тогда , принимая К_Fv=1,5, получим

. (11.19)

Рисунок 11.8 – Схема к расчету зубьев на изгиб.

Значениями числа зубьев шестерни z₁ и коэффициента задаются по рекомендациям из справочников. Из формулы (11.17) следует, что y_F – безразмерный коэффициент, который зависит только от формы зуба (, s', ) и от формы его галтели (коэффициент К_Т). Форма зуба при одинаковом исходном контуре режущего инструмента зависит от числа зубьев колеса z.