Закон целых чисел

Метод описания граней и ребер кри­сталла с помощью индексов и сим­волов был установлен задолго до того, как на опыте была доказана решетча­тая структура кристалла. Он основы­вался на замечательном эмпириче­ском законе кристаллографии — зако­не целых чисел.

Для пояснения закона за оси коорди­нат выберем направления трех непа­раллельных ребер кристаллического многогранника, а за единицы измере­ния (параметры) по этим осям — от­резки, отсекаемые на них какой-либо гранью кристалла, принятой за «еди­ничную» (рис. 6.5). Пусть «единичная» грань отсекает на осях координат от­резки ОА, ОВ, ОС (параметры грани).

Закон целых чисел, сформулированный Гаюи в 1781 г., утверждает, что двойные отношения отрезков, отсекаемых на трех ребрах кристалла, выбранных в качестве осей координат, любой гранью и некоторой его гранью, принятой за единичную, равны отношению малых целых чисел, т. е.

ОА'/ОА: ОВ'/ОВ: ОС'/ОС = р:q: r,(6.15)

где р, q, r — целые, взаимно простые и для реальных кристаллов малые числа.

Рис.6.5. К пояснению закона Гаюи

Этот закон называется также законом ра­циональных отношений или законом рацио­нальности параметров.

Плоскость А'В'С' может быть гранью кристалла только если отрез­ки ОА', ОВ', ОС', отсекаемые ею на осях координат, и «единичные» отрез­ки ОА, ОВ, ОС связаны соотношени­ем (6.8). Именно поэтому на растущем кристалле появляются только грани определенного наклона, характерного для данного вещества.

Иначе говоря, на кристаллическом многограннике образуются лишь та­кие грани, для которых двойные отно­шения отрезков, отсекаемых данной гранью и «единичной» гранью на трех ребрах кристалла, принятых за оси координат, равны отношению неболь­ших целых, взаимно простых чисел.

Грани, для которых отношение р:q:r является иррациональным, не­возможны в реальном кристалле. Как правило, р, q, r — числа обычно не превы­шающие 10.

Единичная или масштабная грань - это грань, выбираемая в кристалле в качестве основной для определения символов его граней, пересекающая координатные оси. Отрезки, отсекаемые такой гранью на координатных осях (OA=a, OB=b, ОС=c, где a, b, c - параметры решетки), принимаются за единицы измерения для соответствующих осей. Равенство отсекаемых отрезков в общем случае необязательно. В частных случаях эти отрезки могут быть равны, например, в кубический сингонии. OA' = OB' = ОС', в тетрагональный сингонии OA' = OB'. Символ «единичная грань», независимо от величины ее параметров, будет (111).