Решение игр графическим методом

Графический метод применим к играм, в которых хотя бы один игрок имеет только две стратегии.

Пример1. Найти решение игры, заданной матрицей

Игра не имеет седловой точки. Оптимальное решение следует искать в области смешанных стратегий. Построим на плоскости отрезки, соответствующие стратегиям второго игрока.

Рис. 1.1.

Нижней границей выигрыша для игрока А является ломаная В₃КВ₄,. Стратегии В₃, и В₄ являются активными стратегиями игрока В. Точка их пересечения К определяет оптимальные стратегии игроков и цену игры. Второму игроку невыгодно применять стратегии В₁ и В₂, поэтому вероятность их применения равна нулю, т.е. у₁ = у₂ = 0. Решение игры сводится к решению игры с матрицей (2х2).

По формулам (1)-(3) находим оптимальные стратегии и цену игры:

x₁ = 2/5, х₂ = 3/5; y₃ = 3/5, у₄ = 2/5; v = 11/5.

Ответ. Оптимальные смешанные стратегии игроков

X (2/5, 3/5) и Y (0, 0,3/5, 2/5), цена игры составляет v = 11/5.

Данный ответ означает следующее:

- если первый игрок с вероятностью 2/5 будет применять первую стратегию и с вероятностью 3/5 вторую, то при достаточно большом количестве игр с данной матрицей его выигрыш в среднем составит не менее 11/5;

- если второй игрок с вероятностью 3/5 будет применять третью стратегию, с вероятностью 2/5 четвертую и не будет использовать первую и вторую стратегии, то при достаточно большом количестве игр с данной матрицей его проигрыш в среднем составит не более 11/5.

Пример2. Найти решение игры, заданной матрицей

Игра не имеет седловой точки. Оптимальное решение следует искать в области смешанных стратегий. Построим на плоскости отрезки, соответствующие стратегиям первого игрока.

Рис. 1.2.

Верхней границей проигрыша для игрока В является ломаная А₁КА₄. Стратегии А₁ и А₂ являются активными стратегиями игрока А. Точка их пересечения К определяет оптимальные стратегии игроков и цену игры. Первому игроку невыгодно применять стратегии А₃ и А₄, поэтому вероятность их применения равна нулю, т.е. х₂ = х ₃ = 0. Решение игры сводится к решению игры с матрицей (2х2)

По формулам (1)-(3) находим оптимальные стратегии и цену игры:

х₁ = 7/8, х₄ = 1/8; у₁ = 3/8, у₂ = 5/8; v = 27/8.

Ответ. Оптимальные смешанные стратегии игроков

X (7/8, 0, 0, 1/8) и Y (3/8, 5/8), цена игры составляет v = 27/8.

Данный ответ означает следующее:

- если первый игрок с вероятностью 7/8 будет применять первую стратегию, с вероятностью 1/8 четвертую и не будет использовать вторую и третью стратегии, то при достаточно большом количестве игр с данной матрицей его выигрыш в среднем составит не менее 27/8;

- если второй игрок с вероятностью 3/8 будет применять первую стратегию и с вероятностью 5/8 вторую, то при достаточно большом количестве игр с данной матрицей его проигрыш в среднем составит не более 27/8.