Классический метод расчёта основан на решении неоднородных дифференциальных уравнений, выражающих законы Кирхгофа для мгновенных значений токов и напряжений.
Например, переходной процесс в цепи, состоящей из последовательно соединённых R,L,С элементов при включении в неё источника ЭДС е(t) описывается уравнением:
или (6.3)
Решение уравнения (6.3) ищется в виде
,
где - частное решение неоднородного уравнения
, (6.4)
- общее решение однородного дифференциального уравнения
. (6.5)
Функция зависит от вида воздействия и называется принужденнойсоставляющей реакции цепи. Она может быть найдена любым методом расчёта установившегося процесса.
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Функция не зависит от внешнего воздействия, определяется характером цепи, её начальными условиями и называется свободной составляющей реакции цепи (свободная составляющая тока).
В зависимости от параметров элементов цепи и соответственно вида корней характеристического уравнения, общее решение однородного дифференциального уравнения, приведенного в примере, ищется в виде:
|
|
1) корни характеристического уравнения действительные
, (6.6)
где А1, А2- постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий; p1, p2 – корни характеристического уравнения.
В этом случае изменяется по экспоненциальному закону (рис. 6.1а)
Рис. 6.1. Временная зависимость свободной составляющей тока в случае
а) действительных корней характеристического уравнения б) комплексно-сопряженных корней.
2) Корни характеристического уравнения комплексно-сопряженные p1,2=d±jw
|-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
54) Переходные процессы в цепях переменного тока с индуктивностью и емкостью
|--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
55) Разветвленная цепь переменного тока. Метод проводимостей
На практике часто используются разветвленные цепи, в которых необходимо рассчитать токи во всех ветвях и ток всей цепи, а также активную, реактивную и полную мощность цепи.
ЦЕПЬ ИЗ ДВУХ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ВЕТВЕЙ.
Рассмотрим простейшую цепь переменного тока, состоящую из двух параллельных ветвей с последовательно включенными активными сопротивлениями и катушками индуктивности и подключенную к источнику синусоидального напряжения (рис.151). В соответствии с законом сохранения заряда сила мгновенного тока в неразветвленной части цепи будет равна сумме токов в параллельных ветвях .
В каждой ветви ток будет отставать от напряжения на ветви (см. § 52), а напряжение на ветвях общее. Поэтому построим векторную диаграмму токов, считая, что мгновенные значения токов в первой и второй ветвях отстают от напряжения соответственно на и (рис.152).
|
|
РИС.151 РИС.152 РИС.153 РИС.154
Амплитудные и действующие значения силы токов в ветвях можно найти, используя следующие соотношения:
, , , , .
Используя векторную диаграмму и эти соотношения, можно найти действующее значение силы тока и сдвиг фаз между током и напряжением:
,
, где и .
Соответственно можно рассчитать активные, реактивные и полные мощности ветвей: , , ,
, , , а также активную, реактивную и полную мощность всей цепи:
, , .
Если в одной из ветвей будет включена емкостная нагрузка, то вектор силы тока в этой ветви будет опережать вектор напряжения на некоторый угол, а величина суммарного тока и сдвиг фаз будут определяться соотношением реактивных сопротивлений ветвей.
МЕТОД ПРОВОДИМОСТЕЙ.
Если в цепи больше двух параллельных ветвей, то для рационального расчета используется метод проводимостей, который основан на следующем.
1)Ток в каждой цепи является векторной суммой активной и реактивной составляющих (рис.153). Например, для рассмотренной выше цепи действующие значения токов в ветвях можно рассчитать по следующим формулам: ,
2)Активные составляющие совпадают по фазе с напряжением и равны: , ,
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
, , где g1 и g2- активные проводимости первой и второй ветвей.
3) Реактивные составляющие токов отличаются по фазе от напряжения на и рассчитываются по формулам:
, , , , где b1 и b2 – реактивные проводимости первой и второй ветвей.
Тогда: , , где и - полные проводимости обоих ветвей.
Проводимость всей цепи может быть рассчитана по формуле:
, где g=g1+g2 и b=b1+b2 и представлена треугольником проводимостей (рис.154), который является следствием векторной диаграммы токов.
4)Общая сила тока в цепи может быть рассчитана как модуль векторной суммы активной и реактивной составляющих , где и .
5)Сдвиг фаз между током и напряжением: или .
6)Активную, реактивную и полную мощность цепи можно рассчитать по формулам: , , ,
В общем случае разветвленной цепи применяют метод эквивалентных (равнозначных) схем, т.е. цепь последовательно упрощают, заменяя сопротивление разветвленных участков эквивалентными сопротивлениями. Для этого рассчитывают активные и реактивные проводимости параллельных ветвей, а затем полную проводимость и сопротивление разветвленного участка. В результате разветвленная цепь заменяется неразветвленной – эквивалентной. Затем рассчитывается ток, сдвиг фаз между током и напряжением, активная, реактивная и полная мощность цепи.
56) Активная, реактивная и полная мощности трехфазной цепи