Рассмотрим абсолютно твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси. Если мысленно разбить это тело на n точек массами m1, m2, …, mn, находящихся на расстояниях r1, r2, …, rn от оси вращения, то при вращении они будут описывать окружности и двигаться с различными линейными скоростями v1, v2, …, vn. Так как тело абсолютно твердое, то угловая скорость вращения точек будет одинакова:
Кинетическая энергия вращающегося тела есть сумма кинетических энергий его точек, т.е.
Учитывая связь между угловой и линейной скоростями, получим:
(4.9)
Сопоставление формулы (4.9) с выражением для кинетической энергии тела, движущегося поступательно со скоростью v, показывает, что момент инерции является мерой инертности тела во вращательном движении.
Если твердое тело движется поступательно со скоростью v и одновременно вращается с угловой скоростью ω вокруг оси, проходящей через его центр инерции, то его кинетическая энергия определяется как сумма двух составляющих:
(4.10)
где vc – скорость центра масс тела; Jc - момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс.
|
|
Моментом силы относительно неподвижной оси z называется скалярная величина Mz, равная проекции на эту ось вектора момента силы, определенного относительно произвольной точки 0 данной оси. Значение момента Mz не зависит от выбора положения точки 0 на оси z.
Если ось z совпадает с направлением вектора , то момент силы представляется в виде вектора, совпадающего с осью:
Найдем выражение для работы при вращении тела. Пусть сила приложена к точке В, находящейся от оси вращения на расстоянии r (рис. 4.6); α – угол между направлением силы и радиусом-вектором . Так как тело абсолютно твердое, то работа этой силы равна работе, затраченной на поворот всего тела.
При повороте тела на бесконечно малый угол точка приложения В проходит путь , и работа равна произведению проекции силы на направление смещения на величину смещения:
Учитывая, что можно записать где Mz - момент силы относительно оси вращения. Таким образом, работа при вращении тела равна произведению момента действующей силы на угол поворота.
Работа при вращении тела идет на увеличение его кинетической энергии:
где Тогда , или Учитывая, что получим
(4.11)
Уравнение (4.11) представляет собой уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси.