Пример 1. Найти матрицу, обратную матрице
А =
и сделать проверку.
Решение. 1. det A = = 2 - 2 +
+ 3 = 2 × (-1) – 2 × 1 + 3 × 1 = -1 ¹ 0, следовательно, существует А-1.
2. Найдем союзную матрицу А*:
А11 = = -1; А12 = - = -1; А13 = = 1;
А21 = - = 4; А22 = = 5; А23 = - = -6;
А31 = = 3; А32 = - = 3; А33 = = -4.
А* = .
3. Транспонируем матрицу А*:
= А*т = .
4. Получаем матрицу А-1:
А-1 = = = .
Сделаем проверку: А × А-1 = А-1 × А = Е.
А × А-1 = =
= = = Е.
Итак, обратная матрица найдена верно.
Пример 2. Решить систему уравнений матричным способом:
Решение. Рассмотрим три матрицы: А – основная матрица системы, Х – матрица-столбец неизвестных х1, x2, x3, В – матрица-столбец свободных членов:
А = , X = , B = .
Пользуясь правилом умножения матриц, система может быть записана в матричной форме:
=
или А × Х = В. Отсюда Х = А-1 ×В. Матрица А-1 найдена в предыдущем примере. Решение в матричной форме запишется так:
Х = = = .
Итак, решение данной системы: х1 = 1, х2 = 2, x3 = 3.
Пример 3. Решить уравнение
× Х = .
Решение. Это уравнение вида А × Х = В, решение которого Х = А-1 × В.
|
|
Найдем матрицу А-1:
1. det A = = = - =
= - (-8 + 12) = -4 ¹ 0, следовательно, матрица А-1 существует.
2. Составим матрицу А*:
А11 = = 3 А12 = - = -1 А13 = = 4
А21 = - = -10 А22 = = 2 А23 = - = -8
А31 = = 9 А32 = - = -3 А33 = = 8
А* = .
3. = . 4. А-1 = - .
Найдем теперь матрицу Х:
X = - = - = - = .
Ответ. Х = .