Теоремы о необходимых и достаточных условиях линейной зависимости и линейной независимости решений ЛОДУ

Т.: если дифференцируемые функции y₁ (x) и y₂ (x) линейно зависимы на (a; b), то определитель Вронского на этом интервале тождественно равен нулю.

Т.к. функции y₁ и y₂ линейно зависимы, то в равенстве α₁y₁ + α₂y₂ = 0 значение α₁ или α₂ отлично от нуля. Пусть α₁ ≠ 0, тогда y₁ =

– α₂/α₁ y₂; поэтому для любого x Э (a; b)

| – α₂/α₁ y₂ y₂ |

W (x) = | – α₂/α₁ y’₂ y’₂ | = 0.

Т.: если функции y₁ (x) и y₂ (x) – линейно независимые решения уравнения y” + α₁ (x) y’ + α₂ (x) y = 0 на (a; b), то определитель Вронского на этом интервале нигде не обращается в нуль.

Из этих теорем следует, что вронскиан не равен нулю ни в одной точке интервала (a; b) тогда и только тогда, когда частные решения линейно независимы.

Фундаментальная система решений ЛОДУ. Структура общего решения ЛОДУ

Совокупность любых двух линейно независимых на интервале (a; b) частных решений y₁ (x) и y₂ (x) ЛОДУ определяет фундаментальную систему решений этого уравнения: любое произвольное решение может быть получено как комбинация y = α₁y₁ (x) + α₂y₂ (x).

Структура общего решения ЛОДУ: если два частных решения y₁ = y₁ (x) и y₂ = y₂ (x) ЛОДУ y” + α₁ (x) y’ + α₂ (x) y = 0 образуют на интервале (a; b) фундаментальную систему, то общим решением этого уравнения является функция y = c₁y₁ + c₂y₂, где c₁ и c₂ – произвольные постоянные.