2015-02-27
2297
Если указано правило, по которому положение точек плоскости можно определить с помощью упорядоченных пар действительных чисел, то говорят, что на плоскости задана система координат. Кроме аффинной системы координат, которая была рассмотрена в §10, в математике часто применяют полярную систему координат на плоскости.
Система полярных координат вводится на ориентированной плоскости.
Пара, состоящая из точки О и единичного вектора 
, называется полярной системой координат и обозначается 
или 
. Направленная прямая 
называется полярной осью, точка О - полюсом (рис. 49).
|
от точки О до точки М называется полярным радиусом точки М.
 .
|
Таким образом, 
. Если М совпадает с О, то 
. Для любой точки М ее полярный радиус
Направленный угол 
называется полярным углом точки М (рис. 50).
 .
|
Если М совпадает с полюсом О, то j - неопределенный. Из определения направленного угла между векторами (см. §13) следует, что полярный угол
|
|
|
Полярный радиус r и полярный угол j называются полярными координатами точки М.
На рис. 51 построены точки 
, 
, 
по их полярным координатам.
 |
Выведем формулы перехода от полярных координат к прямоугольным декартовым и обратно.
Пусть - полярная система координат на ориентированной плоскости, 
, 
в . Присоединим к полярной системе единичный вектор 
, ортогональный вектору так, чтобы базис 
, был правым (рис. 52).
, 
.
Пусть М(х;у) в 
. Тогда 
; 
(рис. 52).
|
Получили формулы перехода от полярных координат к прямоугольным:
Возведем обе части этих равенств в квадрат и сложим:
, откуда 
(корень берется со знаком «+», т.к. 
). Þ 
Þ 
; 
.
,
 ,
 .
|
Получили формулы перехода от прямоугольных декартовых координат к полярным:
Замечание. При решении задач на переход от прямоугольных декартовых координат к полярным недостаточно найти только 
или только 
, т.к. по одной тригонометрической функции определить полярный угол однозначно невозможно: в промежутке 
существуют два угла с одинаковыми косинусами (два угла с одинаковыми синусами) (рис. 53). Поэтому правильно найти полярный угол j вы сможете, только если одновременно вычислите и .
