Элементы математической статистики

Задача П 1.6. Дана выборка объема n= 30:

					46.

Требуется:

1) Найти статистический ряд и построить полигон частот;

2) Составить интервальный статистический ряд, взяв 7-10 интервалов, и построить гистограмму частот;

3) Найти оценки математического ожидания , выборочную дисперсию , исправленную выборочную дисперсию S², выборочное среднее квадратическое отклонение , исправленное среднее квадратическое отклонение S;

4) С доверительной вероятностью найти доверительный интервал

а) для математического ожидания M (X)в случае известной дисперсии, предполагая D (X) = S²,

б) для математического ожидания M (X)в случае неизвестной дисперсии,

в) для среднего квадратического отклонения

5) Проверить критерий Пирсона о нормальном распределении наблюдаемой случайной величины X при уровне значимости

Решение. 1) По данной выборке находим:

Строим статистический ряд:

Нанесем на плоскости Oxy точки

где i – порядковый номер варианты Соединив эти точки последовательно, получим ломаную линию – полигон частот задачи (рис. П 1.3).

2) Найдем «размах» выборки: Поэтому для составления интервального статистического ряда выберем число интервалов из условия:

Таблица П 1.2

№	xi	mi	mi / n
			1/30
			1/15
			1/30
			1/30
			1/15
			1/15
			1/10
			1/10
			2/15
			1/10
			1/15
			1/15
			1/30
			1/15
			1/30
∑

Рис. П 1.3

где l – длина интервала. Отсюда находим:

Следовательно, выберем l = 2, тогда число интервалов будет равно 8.

Интервальный статистический ряд указан в табл. П 1.2.

Таблица П 1.2

№	[ ai; ai+1)	mi
	[36;38)
	[38;40)
	[40;42)
	[42;44)
	[44;46)
	[46;48)
	[48;50)
	[50;52]

В системе координат Oxy на оси Ox отложим точки a ₁ ,…,a ₉.

Построим прямоугольники с основанием [ a_i; a_{i+ 1}) и высотой ,

где i = 1,…,8. Построенное ступенчатое тело – гистограмма частот задачи (рис. П 1.4).

Рис. П 1.4

3) Для нахождения оценок параметров выборки составим по интервальному статистическому ряду расчетную табл. П 1.3, заменив в ней каждый интервал его средним значением .

Таблица П 1.3

№	[ ai; ai+1)	xi	mi	xi mi
	[36;38)
	[38;40)
	[40;42)
	[42;44)
	[44;46)
	[46;48)
	[48;50)
	[50;52]
∑

Тогда получаем:

4) а) При построении доверительного интервала для математического ожидания M (X) =m с известной дисперсией D (X) =s²= 19,81 воспользуемся формулой:

где находим с помощью табл. П 2.2 (приложение 2) из уравнения:

Следовательно, искомый доверительный интервал имеет вид:

т.е.

б) При построении доверительного интервала для математического ожидания M (X) =m с неизвестной дисперсией воспользуемся формулой:

где находим с помощью табл. П 2.3 (приложение 2) при

Следовательно, искомый интервал имеет вид:

т.е.

в) При построении доверительного интервала среднего квадратического отклонения воспользуемся формулой:

где s = 4,45 – исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение, = 0,43 – число, которое находим с помощью табл. П 2.4 (приложение 2) при

Следовательно, искомый доверительный интервал имеет вид:

т.е.

5) Для проверки гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности, из которой взята данная в примере выборка, составим расчетную таблицу, используя интервальный статистический ряд (табл. П 1.4).

Для нахождения чисел воспользуемся формулой:

где

причем

Таблица П 1.4

№	[ ai; ai+1)	mi
	[36;38)		-	-1,46	2,16	0,33
	[38;40)		-1,46	-1,01	2,52	0,11
	[40;42)		-1,01	-0,56	3,94	0,96
	[42;44)		-0,56	-0,11	5,06	0,001
	[44;46)		-0,11	0,34	5,31	0,54
	[46;48)		0,34	0,79	4,56	0,04
	[48;50)		0,79	1,24	3,23	0,02
	[50;52)		1,24	+	3,22	0,02
∑						2,02

Следовательно,

Число находим из табл. П 2.5 (приложение 2) по уровню значимости и числу степеней свободы

Сравним числа:

Так как

и гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности принимается.

Ответ: 1) табл. П 1.2 и рис. П 1.3;

2) табл. П 1.3 и рис. П 1.4;

3) =44,5,

4) a)

б)

в)

5) генеральная совокупность распределяется нормально.

Задача П 1.7. Найти выборочный коэффициент корреляции и выборочные уравнения линейных регрессий Y на X и X на Y по данным выборки для величин X и Y, сведенным в корреляционную таблицу:

Y X						my
mx

Решение. Для данной в примере выборки объема n= 50 вычислим выборочные параметры:

Запишем выборочное линейное уравнение регрессии Y на X:

Запишем выборочное линейное уравнение регрессии X на Y:

Ответ: выборочный коэффициент корреляции:

выборочное линейное уравнение регрессии Y на X:

выборочное линейное уравнение регрессии X на Y:

Контрольные вопросы по теории

1. Случайное событие: определение, виды событий, полная группа событий, алгебра событий.

2. Классическое определение вероятности случайного события.

3. Теорема сложения вероятностей.

4. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.

5. Теорема полной вероятности.

6. Формула Бернулли. Локальная и интегральная теоремы Лапласа.

7. Числовые характеристики дискретной случайной величины.

8. Числовые характеристики непрерывной случайной величины.

9. Функция распределения дискретной и непрерывной случайных величин: определение, свойства.

10. Равномерное распределение непрерывной случайной величины: математическое ожидание, дисперсия, графики плотности распределения вероятностей и функции распределения.

11. Нормальное распределение непрерывной случайной величины: математическое ожидание, дисперсия, графики плотности распределения вероятностей и функции распределения.

12. Интеграл вероятности. Вероятность попадания нормальной случайной величины в заданный промежуток.

13. Биномиальное распределение, его параметры.

14. Распределение Пуассона, его параметры.

15. Неравенство Чебышева.

16. Статистическое определение вероятности. Относительная частота. Выборка.

17. Статистический ряд и интервальный статистический ряд. Полигон и гистограмма относительных частот.

18. Точечные статистические оценки параметров распределения. Их свойства.

19. Интервальные статистические оценки параметров распределения: доверительный интервал для математического ожидания генеральной совокупности при известной и неизвестной дисперсии.

20. Интервальные статистические оценки параметров распределения: доверительный интервал для среднего квадратического отклонения генеральной совокупности.

21. Сравнение двух дисперсий и двух средних нормальных генеральных совокупностей.

22. Критерий согласия Пирсона: проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности.

23. Определение корреляционной зависимости двух генеральных совокупностей. Коэффициент корреляции: определение, свойства, алгоритм вычисления.

24. Функция и линия регрессии случайной величины Y на величину X и наоборот. Уравнения линейных регрессий.

25. Выборочные оценки корреляционных параметров: корреляционный момент и коэффициент корреляции. Проверка гипотезы о значимости выборочного коэффициента корреляции.

26. Ранговая корреляция. Выборочные коэффициенты ранговой корреляции Спирмена и Кендалла. Проверка гипотезы об их значимости.

Приложение 2