Электрические схемы. Линейные цепи постоянного тока

Под электрической цепью понимают совокупность связанных друг с другом источников электрической энергии и нагрузок, по которым может протекать электрический ток. Изображение электрической цепи с помощью условных знаков называют электрической схемой. Изображения различных элементов в электрических схемах приведены в таблице.

Название	Обозначение	Название	Обозначение
Резистор		Переменный резистор
Катушка индуктивности		Конденсатор
Источник ЭДС		Источник тока
Амперметр		Вольтметр
Ваттметр		Фазометр

Если число выводов, с помощью которых элемент присоединяется к электрической цепи, равно двум, то такой элемент называется двухполюсником. Если таких выводов четыре, то - четырехполюсником. В данном лабораторном практикуме рассматриваются двухполюсники.

Теоретические сведения, необходимые для выполнения лабораторного практикума, изложены в соответствующих разделах настоящего пособия. Более подробные теоретические сведения изложены в [1-4].

Раздел 1. ЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА

1.1. Краткие теоретические сведения

1.1.1. Основные понятия и определения

Постоянным током называют ток, неизменный во времени. Источник электрической энергии характеризуется величиной и направлением электродвижущей силы (ЭДС) и величиной внутреннего сопротивления.

Напомним, что при расчете и анализе электрических цепей источник электрической энергии может быть представлен одной из моделей (рис.1.1):

- в виде идеального источника ЭДС E с последовательно включенным сопротивлением, равным внутреннему сопротивлению R_E реального источника,

- в виде идеального источника тока J с параллельно включенным с ним сопротивлением, равным внутреннему сопротивлению R_J реального источника.

Рис.1.1. Источники: а – ЭДС, б – тока.

Известно правило эквивалентной замены одного источника другим:

E = JR_J и R_J =R_E,

где E - ЭДС источника напряжения, J - ток источника тока, R_E и R_J - их внутренние сопротивления. Для электрической цепи не принципиально, какая модель принята, поскольку возможна эквивалентная замена одного источника другим. Поэтому в дальнейшем мы будем пользоваться источником ЭДС E с последовательно включенным внутренним сопротивлением R_E.

В условном изображении источника ЭДС стрелка указывает на направление возрастания потенциала внутри источника, т.е. на положительное направление ЭДС. Из курса физики известно, что потенциал, являясь энергетической характеристикой электрического поля, связан с работой по перемещению единичного заряда. Поэтому физически стрелка в обозначении ЭДС означает направление разделения зарядов внутри источника в результате работы по преодолению кулоновских сил и указывает на положительный полюс. То же самое можно сказать и об источнике тока.

Под напряжением U_ab на некотором участке электрической цепи понимают разность потенциалов между крайними точками этого участка:

U_ab = φ _a − φ _b.

На схемах напряжение изображают стрелкой. За положительное направление принимают направление понижения потенциала, поэтому напряжение на зажимах источника U_E направлено встречно направлению ЭДС E, например, как на рис.1.1. При этом численно U_E = E.

Напряжение на активном сопротивлении направлено так же, как и протекающий по нему ток, поскольку ток течет в направлении понижения потенциала. Напряжение на активном сопротивлении называют падением напряжения.

Для иллюстрации сказанного рассмотрим рис.1.2 с участком цепи, содержащим активное сопротивление R и ЭДС E.

Рис.1.2. Участок цепи, содержащий ЭДС.

Напряжение между точками a и c равно разности потенциалов в соответствующих точках: U_aс = φ _a − φ _с. Падение напряжения на активном сопротивлении согласно закону Ома

U_R = φ _a − φ _b = IR. (1.1)

Напряжение на источнике ЭДС

U_E = φ _с − φ _b = E. (1.2)

Тогда очевидно равенство:

U_aс = U_R − U_E = IR − E = φ _a − φ _с. (1.3)

Следует обратить внимание на то, что в (1.3) падение напряжения на сопротивлении R и ЭДС E имеют разные знаки, хотя направлены одинаково, поскольку стрелка ЭДС указывает на повышение потенциала.

Если в данной цепи ЭДС E направлена в противоположную сторону, то последнее уравнение примет вид:

U_aс = U_R + U_E = IR + E = φ _a − φ _с. (1.4)

С использованием полученных выражений находим формулу для расчета тока в цепи при известных величинах U_aс, E и R:

(1.5)

Если направления тока и ЭДС совпадают, то в числителе дроби (1.5) ставится знак "плюс", если не совпадают, то "минус". Выражение (1.5) может использоваться для расчета токов в ветвях методом узловых напряжений.

1.1.2. Законы Кирхгофа

При расчете и анализе электрических цепей изначально необходимо задаться положительным направлением токов в ветвях. В соответствии с принятыми положительными направлениями токов определяются и положительные направления напряжений на элементах цепи. В общем случае положительные направления токов задаются произвольно. Если в результате расчета получается отрицательное значение тока, то это значит, что данный ток в ветви направлен в противоположную сторону по сравнению с принятым положительным направлением.

Электрические цепи подразделяются на неразветвленные и разветвленные. В неразветвленной цепи во всех элементах течет один и тот же ток. В разветвленной цепи по каждой ветви течет свой ток.

Все электрические цепи подчиняются законам Кирхгофа. Их два.

Первый закон - закон токов Кирхгофа (ЗТК) устанавливает связь между токами в узле электрической схемы: алгебраическая сумма токов в любом узле равна нулю, т.е.

(1.6)

При составлении уравнения (1.6) по первому закону Кирхгофа токи, направленные к узлу, следует брать со знаком, противоположным знаку токов, направленных от узла.

Второй закон - закон напряжений Кирхгофа (ЗНК) устанавливает связь между напряжениями в контуре электрической цепи: алгебраическая сумма напряжений на всех элементах вдоль любого контура равна нулю, т.е.

(1.7)

В выражении (1.7) падения напряжения, совпадающие с направлением обхода контура, берутся со знаком "плюс", а ЭДС, совпадающие с направлением обхода контура, − со знаком "минус", например, как в выражении (1.3), поскольку напряжение на источнике ЭДС направлено встречно самой ЭДС (в соответствии с направлением стрелки Е).

Для того, чтобы исключить возможные ошибки при определении знаков слагаемых в (1.7), все ЭДС из левой части уравнения целесообразно перенести в правую часть. Тогда второй закон Кирхгофа может быть сформулирован иначе: алгебраическая сумма падений напряжения в любом контуре равняется алгебраической сумме ЭДС, действующих в том же контуре, т.е.

(1.8)

В этом случае в каждую из сумм в уравнении (1.8) соответствующие слагаемые (как падения напряжения в левой части, так и ЭДС в правой) входят со знаком "плюс", если совпадают с направлением обхода контура, и со знаком "минус", если не совпадают с ним.

1.1.3. Потенциальная диаграмма

Для экспериментального подтверждения и наглядной иллюстрации второго закона Кирхгофа построим потенциальную диаграмму, которая представляет собой график распределения потенциала вдоль какого-либо участка цепи или контура. По оси абсцисс на нем откладывают в масштабе отрезки, соответствующие сопротивлениям вдоль контура, начиная с какой-либо произвольной точки, а по оси ординат − потенциалы соответствующих точек контура относительно точки, потенциал которой принят за нулевой.

Рассмотрим контур электрической цепи, изображенный на рис.1.3, и построим для него потенциальную диаграмму. Для этого зададим направление обхода контура по часовой стрелке и примем потенциал точки a равным нулю: φ _a = 0.

Рис. 1.3. Контур электрической цепи

Для потенциалов соответствующих точек схемы согласно выражениям (1.1)...(1.4) справедливы следующие соотношения:

φ _b = φ _a − I ₁ R ₁= − I ₁ R ₁;

φ _c = φ _b + E ₁ = − I ₁ R ₁+ E ₁;

φ _d = φ _c + I ₂ R ₂ = − I ₁ R ₁+ E ₁ + I ₂ R ₂;

φ _e = φ _d − E ₂ = − I ₁ R ₁+ E ₁ + I ₂ R ₂ − E ₂;

φ _{a 1}= φ _e − I ₃ R ₃ = − I ₁ R ₁+ E ₁ + I ₂ R ₂ − E ₂ − I ₃ R ₃,

где φ _{a 1} - потенциал точки a, выраженный через напряжения на элементах контура.

Обходя контур по часовой стрелке, мы пришли в ту же точку a (a 1), из которой начали движение. Разность потенциалов φ _a и φ _{a 1}, очевидно, равна нулю, т.е.

φ _a − φ _{a 1} = I ₁ R ₁− E ₁ − I ₂ R ₂ + E ₂ + I ₃ R ₃=0. (1.9)

В обозначениях напряжений на элементах контура выражение (1.9) принимает вид:

(1.10)

что соответствует уравнению (1.7) для ЗНК.

Перенеся ЭДС в правую часть равенства (1.9), получим:

I ₁ R ₁− I ₂ R ₂ + I ₃ R ₃ = E ₁− E ₂, (1.11)

что соответствует уравнению (1.8) для ЗНК.

Потенциальная диаграмма в виде зависимости φ(R) приведена на рис.1.4. Пользуясь потенциальной диаграммой, можно найти разность потенциалов между любыми точками электрической цепи.

Рис.1.4. Потенциальная диаграмма

Правильность расчета электрической цепи можно проверить по балансу мощности, согласно которому суммарная мощность, генерируемая источниками, равна суммарной мощности, потребляемой в цепи:

(1.12)

где k − количество источников ЭДС в схеме; n − количество приемников (активных сопротивлений).

1.1.4. Метод наложения

К свойствам линейных электрических цепей относится принцип независимости действия ЭДС, который лежит в основе метода расчета, получившего название метода наложения. Согласно ему в линейной электрической цепи действие, оказываемое каждой из ЭДС в отдельности, можно рассматривать независимо от действия других ЭДС. Другими словами, ток в k− й ветви равен алгебраической сумме токов, вызываемых каждой из ЭДС схемы в отдельности.

При расчете цепей по методу наложения поступают следующим образом: поочередно рассчитывают частичные токи, возникающие от действия каждого из источников, мысленно удаляя из схемы остальные, но оставляя их внутренние сопротивления; затем находят токи в ветвях путем алгебраического сложения (с учетом направления) частичных токов.

Исключение источников означает следующее: источник ЭДС закорачивается, а ветвь с источником тока размыкается.

Заметим, что принципом наложения нельзя пользоваться для расчета баланса мощности, поскольку мощность - квадратичная функция тока.

1.1.5. Линия передачи

Баланс мощности характеризует распределение электрической энергии между источниками и приемниками. Немаловажное значение имеет также и то, каким закономерностям подчиняется процесс передачи энергии в различных системах, будь то линия электропередачи или линия передачи информации, поскольку для каждой из них характерен свой наиболее эффективный режим работы.

Независимо от назначения, каждая линия передачи представляет собой совокупность трех основных элементов: источника, собственно линии передачи и приемника (потребителя). Рассмотрим модель линии передачи, представленную на рис.1.5, где под сопротивлением R _л понимается сопротивление линии (суммарное сопротивление обоих проводов), а под R _н - сопротивление нагрузки (приемника).

Рис.1.5. Схема линии передачи Под источником понимают генератор с ЭДС E, обладающий внутренним сопротивлением RE. При рассмотрении процессов в линии передачи для наглядности и без потери общности выводов целесообразно внутреннее сопротивление источника объединить с сопротивлением линии, сохранив его обозначение R Л. Тогда расчетная модель линии передачи будет иметь вид, как на рис.1.6.

Рис.1.6. Модель линии передачи: E - ЭДС источника энергии; R Н– сопротивление нагрузки (приемника); R Л - сопротивление линии передачи и внутреннего сопротивления источника

По второму закону Кирхгофа (ЗНК) для рассматриваемой цепи можно записать

(1.13)

где U ₂ = IR _Н; U _Л = IR _Л.

Отсюда получим выражения для тока I и напряжения U ₂ на нагрузке

(1.14) Заметим, что напряжение UE на зажимах реального источника ЭДС (рис.1.1,а) с внутренним сопротивлением RE также определяется по формуле (1.14):

На основании закона Джоуля-Ленца мощность, отдаваемая источником во внешнюю цепь, равна P ₁= EI,а мощность, выделяющаяся в активных сопротивлениях, P= RI ². Для цепи рис.1.6 R=R _л + R _н.

В линиях передачи переменной величиной является сопротивление нагрузки R _н. Диапазон возможного изменения данного сопротивления определяет режимы работы линии передачи. Рассмотрим два предельных режима: режим холостого хода и режим короткого замыкания.

Режим холостого хода (х.х.). Данному режиму соответствует величина сопротивления нагрузки R _н= ∞. Тока в цепи нет (I _хх = 0), напряжение на линии U _Л.хх = 0, а напряжение U _2хх, подводимое к нагрузке, равно ЭДС источника U _2хх = E. Соответственно и мощности, выделяющиеся в линии и нагрузке, равны нулю.

Режим короткого замыкания (к.з.). В данном режиме сопротивление нагрузки R _Н= 0, мощность, выделяющаяся в нагрузке, также равна нулю, а ток в цепи достигает максимально возможного в данной линии значения - тока короткого замыкания

Очевидно, что напряжение на нагрузке при этом U _2кз= 0, а напряжение U _Лна сопротивлении линии R _Луравновешивает напряжение источника

U _Л= U ₁= E.

Мощность P _1кз, отдаваемая источником в режиме к.з., равна

P _1кз= EI _кз.

В соответствии с законом сохранения энергии эта мощность равна мощности P _Л, выделяющейся в сопротивлении линии R _Н,

P _1кз = P _Л = R _Л I _кз ².

Режим короткого замыкания для большинства линий передач является аварийным.

При изменении сопротивления нагрузки R _Нв диапазоне (0,∞) ток в линии передачи принимает значения от I _кздо 0. В соответствии с (1.14) напряжение на нагрузке U ₂в функции тока I изменяется по линейному закону от значения U ₂= E в режиме холостого хода до U ₂= 0 при коротком замыкании.

Мощность P ₁= EI, отдаваемая источником, линейно зависит от тока, а мощность, выделяющаяся в линии, P _Л= R _Н I ²изменяется по квадратичному закону. Мощность P _Лпредставляет собой потери, поэтому всегда стремятся к снижению ее величины.

Полезной является мощность, выделяющаяся в нагрузке. Она равна

Как в режиме холостого хода, так и в режиме короткого замыкания P ₂=0. Из этого следует очевидный вывод о том, что функция P ₂(I) имеет по крайней мере один максимум в диапазоне изменения тока (0, I _кз). Для его определения следует взять производную от P ₂по току и приравнять ее нулю. А поскольку ток I является функцией сопротивления нагрузки, то производную следует взять по R _Н:

Таким образом, максимум мощности в нагрузке имеет место при выполнении условия

R _Л= R _Н.

Режим передачи максимальной мощности носит название согласованного режима и определяет возможности данной линии по передаче энергии потребителю. Соответствующая нагрузка R _Нносит название согласованной нагрузки. Ток, соответствующий данному режиму, равен половине тока короткого замыкания

Очевидно, что в согласованном режиме мощность, отдаваемая источником, поровну делится между линией и нагрузкой.

Параметром, характеризующим эффективность передачи энергии, служит коэффициент полезного действия (КПД) η, равный отношению мощности P ₂, потребляемой нагрузкой, к мощности P ₁источника. Для рассматриваемой линии передачи

(1.15)

Отсюда следует, что КПД изменяется по линейному закону в функции тока I от η = 1 в режиме холостого хода до η = 0 в режиме короткого замыкания. В согласованном режиме η = 0,5.

На рис.1.7,а приведены графики изменения напряжений, мощностей и КПД в функции тока I, которые можно построить для конкретных параметров линии передачи по приведенным выше формулам.

а)	б)
Рис.1.7. Графики изменения напряжения на нагрузке, мощностей, КПД линии передачи (а) и график зависимости КПД от тока в реальной системе (б)

Как видно из графика рис.1.7,а, мощность P ₂, выделяющаяся в нагрузке, имеет максимум при токе, равном половине тока короткого замыкания I _кз (согласованный режим). При любой величине тока I_n сумма напряжения на нагрузке U _{2 n} и падения напряжения в линии U _{Л n} равна ЭДС E.

В электроэнергетике, где осуществляется передача значительных мощностей, наиболее целесообразным является режим, при котором реализуется наибольший КПД. Поэтому энергетические системы работают в области малых (по сравнению с током короткого замыкания) токов.

Заметим, что в реальных линиях передачи КПД никогда не равен 1. Это связано с наличием потерь в реальном источнике (генераторе), что требует дополнительных затрат энергии, в том числе и в режиме холостого хода. Физически это обусловлено необходимостью совершения работы против кулоновских сил по разделению зарядов в источнике и поддержанию соответствующей разности потенциалов на его зажимах. Например, в синхронном генераторе, представляющем собой электрическую машину, напряжение на его зажимах поддерживается только при вращении ротора, что требует дополнительной мощности на компенсацию механических потерь, потерь в стали магнитопровода и электрических потерь в обмотке возбуждения (в случае электромагнитного возбуждения). Эту мощность ? Р называют потерями холостого хода. Она отбирается от двигателя, приводящего в движение генератор, и должна учитываться в мощности источника. Тогда выражение для КПД примет вид:

где Р ₁− электрическая мощность источника, отдаваемая во внешнюю цепь.

Поскольку ? Р ≠ 0, то в режиме холостого хода Р ₁= 0, Р ₂= 0 и η= 0.

В рассмотренной выше модели линии передачи потери холостого хода не учитывались, т.к. рассматривался идеальный источник ЭДС, что и определило линейное изменение КПД.

Вид кривой КПД в реальной системе передачи показан на рис.1.7,б, где пунктирной линией показана зависимость КПД в модели линии передачи. Ввиду нелинейности зависимостей мощности в линии и нагрузке от тока наиболее экономичный режим (максимум КПД) сдвинут в область малых токов.

Согласованный режим целесообразен в системах передачи информации, где для повышения помехоустойчивости важна передача максимальной мощности полезного сигнала, а КПД не играет роли ввиду малой величины абсолютной мощности.

Напряжение на зажимах нагрузки U ₂ будет меньше напряжения генератора U ₁на величину падения напряжения U _Л = IR _Л. Это падение напряжения называется потерей напряжения. Оно может быть оценено величиной откуда следует важный вывод: при передаче заданной мощности потеря напряжения обратно пропорциональна квадрату напряжения источника. В линиях передач изменение напряжения ε в линии не должно быть велико, так как в противном случае напряжение на нагрузке снижается, и не обеспечивается нормальный режим работы приемников: лампы слабо светятся, нагруженные электродвигатели перегреваются и т.п. Именно поэтому передача больших мощностей на дальние расстояния осуществляется по линиям высокого напряжения.

1.2. Лабораторная работа №1