Максимально возможная ошибка одного измерения

Необходимо выяснить, как будут влиять ошибки измерения отдельных величин на искомую величину определяемую при помощи формулы. Разбе­рем этот вопрос в общем виде.

Пусть искомая величина W является функцией нескольких (допус­тим, трех) величин, измеряемых непосредственно в опыте:

w=f(x,y,z)

(61)

Если бы ошибки в измерении величин x,y и z были бесконечно малыми, то ошибка в величине w, определялась бы ее полным дифференциалом:

(62)

В действительности, ошибки в измерения величин x, y и z не будут бесконечно малыми, однако для расчета величины ошибки можно воспользоваться аналогичной формулой, подставляя вместо dx, dy и dz действительно конечные величины ошибок Δx, Δ y и Δ z.

Итак, получаем:

(63)

где Δw - максимально возможная абсолютная ошибка искомой вели­чины w;

Δx, Δy и Δ z - абсолютные ошибки в измерении величины x, y и z

По формуле (63) вычисляется максимально возможная ошибка, поэтому все ее члены берутся по абсолютному значению и суммируются.

В действительности, при проведении измерений ошибка может быть значительно меньше, так как входящие в (63) слагаемые могут иметь разные знаки, однако в наихудшем варианте все три слагаемые будут иметь один и тот же знак, что даст максимально возможную ошибку.

Часто требуется найти максимально возможную относительную ошибку δw=Δw/w. Её можно получить, разделив (63) на W, т.е.:

(64)

Формула (64) является общей, по ней можно вычислить максимально возможную ошибку искомой величины w при любой функциональной за­висимости w=f(x,y,z).

Для выражения δw в процентах формулу (64) следует умножить на 100.

В дополнение к общей формуле рассмотрим несколько частных случаев.

Очень часто встречается случай, когда искомая величина w определяется как произведение измеряемых величин x, y и z в различ­ных степенях и постоянной А, т.е.:

w=A·xα · yβ · zγ

(65)

Причем α, β и γ могут быть любыми положительными или отрица­тельными числами. Заметим, что формула (65) охватывает случаи, опи­санные формулами (61) и (62).

Для функциональной зависимости (65) можно получить более конкрет­ное выражение для подсчета максимально возможной относительной ошибки величины.

Возьмем производные, входящие в (64):

(66)

Подставив в (64) эти значения и значение w по (66), получим:

(67)

Откуда:

(68)

Обозначая относительные ошибки величин, непосредственно измеряемых в опыте:

(69)

Окончательно получаем:

δw=|αδx|+|βδy|+|γδz|

(70)

Эта формула еще больше упрощается, если α, β и γ равны единице или единице с минусом. Тогда получим:

δw=|δx|+|δy|+|δz|

(71)

Последнее можно сформулировать следующим образом: если искомая
величина w является произведением постоянной и измеряемых вели­чин x, y и z в первой или минус первой степени, то относительная ошибка искомой величины w является суммой относительных ошибок этих измеряемых величин.

Разберем другой случай. Пусть:

w = x + y + z

(72)

Определим величину максимально возможной относительной ошибки. Согласно (64) получим:

(73)

Однако чаще всего бывает желательно выразить относительную ошибку искомой величины через относительные ошибки величин, измеряемых в опыте, а не через абсолютные, как это сделано в формуле (73).

Для этого преобразуем каждое слагаемое в (73):

(74)

Тогда для функциональной зависимости (72) получим формулу для рас­чета ошибки:

(75)

Вполне естественно, что формулы (63) - (71) могут быть распростра­нены на любое число переменных.

Величина относительной ошибки искомой величины в (76), (77) и (75) будет выражена в процентах, если δx, δy и δz подставляются также в процентах.

Особо следует остановиться на случае, когда искомая величина w определяется как разность двух измеряемых в опыте величин, т.е.:

w= x – y

(76)

Если величины x и у близки друг другу по величине, то вслед­ствие погрешностей этих величин искомое значение w может получи­ться с очень большой ошибкой, что совершенно неприемлемо.

Разберем следующий пример. Пусть величина x = 50 и измерена с точностью ± 1, т.е. с ошибкой ± 2 %. Пусть величина y = 45 и измерена с точностью также ± 1, т.е. ошибка составляет ± 2,22 %,

Вычислим величину w совместно с максимальной абсолютной по­грешностью:

w= x – y = (50 ± 1) – (45 ± 1)= 5 ± 2.

Таким образом, несмотря на то, что погрешность в измерениях x и y так уж велика (2 и 2,22 %), погрешность в искомой величине получается очень большая, т.е.:

Применяя к этому случаю формулу (81), получаем тот же результат:

Приведенный пример показывает, что надо крайне осторожно идти на такие измерения, при которых приходится вычитать близкие друг к другу по величине числа.

В таблице. 1 приведены формулы для расчета максимально возможной относительной ошибки для некоторых функциональных зависимостей. В этой таблице через А, В, С, Д; α, β, γ и l обозначены числен­ные коэффициенты, а через x, y, z и υ - величины, непосред­ственно измеряемые в эксперименте; δx, δy, δz и δυ - от­носительные ошибки измеряемых величин, а δw - максимально воз­можная относительная ошибка искомой величины.

3. Повышение точности и вычисление вероятной ошибки при многократных измерениях.

Выше уже говорилось о том, что при проведении многократных изме­рений заданной величины при одних и тех же параметрах случайные ошибки проявляются в разбросе получаемых данных.

Если проведено несколько измерений искомой величины, то вполне
естественно, что наиболее достоверным результатом является средне­
арифметическая величина из всех измерений. Используя в качестве
окончательного результата это среднеарифметическое значение, можно
в значительной мере снизить влияние случайных ошибок при измерениях.
Естественно, что чем больше произведено измерений, тем с большей
уверенностью исключаются случайные ошибки, и в пределе при бесконечно
большом числе измерений окончательный результат будет содержать
лишь систематическую ошибку.

Абсолютная случайная ошибка при нескольких измерениях величины
вычисляется по формуле:

(77)

В этой формуле n - число измерений, w_cp - среднеарифмети­ческое значение из всех полученных величин w т.е.:

wcp=Σw/n

(78)

Ошибка, вычисляемая по (77), называется квадратичной. Из самого вида (83) ясно, что при n → ∞ ошибка Δw_кв → 0.

Однако функция (83) такова, что увеличение количества измере­ний с 2 до 5 сильно снижает эту ошибку; с 5 до 10 - несколько меньше, а увеличение количества измерений, например с 20 до 30, уже очень мало меняет величину этой ошибки.

Заметим, что для вычисления рассматриваемой ошибки необходимо иметь полученные в результате эксперимента величины w, что не всегда требовалось для оценки ошибки отдельного измерения.

Таблица 1

Обозначения	Расчетная формула искомой величины	Формула для определения максимально возможной относительной ошибки
а	w = A · x · y · z	δw = δx + δy + δz
б	w = A · xα · yβ · zγ	δw = αδx + βδy + γ δz
в		δw = αδx + βδy + γ δz + lδυ
г		δw = δx + δy + δz + δυ
д	w = x ± y ± z
е	w = Ax ± By ± C z
ж
з
и	w = A ± Bx
к	w = A lnx
л	w = A eαx	δw = α x δx

Список литературы.

1. Гидравлика, гидромашины и гидроприводы: Учебник для машиностроительных вузов/ Т.М. Башта, С.С. Руднев и др. - М.: Машиностроение, 1982.

2. Спарвочное пособие по гидравлике, гидромашинам и гидроприводам. Под общей редакцией Б.Б. Некрасова. -Мн.: Высш.шк., 1985.

3. Гидравлика, гидромашины и гидропневмопривод. / Стесин С.П., ред. - А: Академия., 2005 г.

4. Гидравлика и гидропневмопривод: Ч.1: основы механики жидкости и газа: учеб. Пособие./ Шейпак А.А., Издательство: МГИУ (Москва, 2003).

5. Альтшуль А.Д. Гидравлические сопротивления. - М.: Недра, 1982.-224 с.