Формула Тейлора для функции нескольких переменных

Как известно, функцию F(t) при условии существования ее производных по порядок n +1 можно разложить по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа (см. формулы (21.7), (21.11) первой части курса).

Запишем эту формулу в дифференциальной форме:

(4.3)

где

В этой форме формулу Тейлора можно распространить на случай функции нескольких переменных.

Рассмотрим функцию двух переменных f(x, y), имеющую в окрестности точки (х₀, у₀) непрерывные производные по (n + 1)-й порядок включительно. Зададим аргументам х и у некоторые приращения Δ х и Δ у и рассмотрим новую независимую переменную t:

(0 ≤ t ≤ 1). Эти формулы задают прямолинейный отрезок, соединяющий точки (х₀ , у₀) и (х₀ + Δ х, у₀ + Δ у). Тогда вместо приращения Δ f (x₀,y₀) можно рассматривать приращение вспомогательной функции

F(t) = f (x₀ + t Δ x, y₀ + t Δ y), (4.4)

равное Δ F (0) = F ( 1) – F (0). Но F (t) является функцией одной переменной t, следовательно, к ней применима формула (4.3).

Получаем:

.

Отметим, что при линейной замене переменных дифференциалы высших порядков обладают свойством инвариантности, то есть

Подставив эти выражения в (4.3), получим формулу Тейлора для функции двух переменных:

, (4.5)

где 0<θ<1.

Замечание. В дифференциальной форме формула Тейлора для случая нескольких переменных выглядит достаточно просто, однако в развернутом виде она весьма громоздка.

Например, даже для функции двух переменных первые ее члена выглядят так:

Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума.

Определение 5.1. Точка М₀ (х₀, у₀) называется точкой максимума функции z = f (x, y), если f (x_o, y_o) > f (x, y) для всех точек (х, у) из некоторой окрестности точки М₀.

Определение 5.2. Точка М₀ (х₀, у₀) называется точкой минимума функции z = f (x, y), если f (x_o, y_o) < f (x, y) для всех точек (х, у) из некоторой окрестности точки М₀.

Замечание 1. Точки максимума и минимума называются точками экстремума функции нескольких переменных.

Замечание 2. Аналогичным образом определяется точка экстремума для функции от любого количества переменных.

Теорема 5.1 (необходимые условия экстремума). Если М₀ (х₀, у₀) – точка экстремума функции z = f (x, y), то в этой точке частные производные первого порядка данной функции равны нулю или не существуют.

Доказательство.

Зафиксируем значение переменной у, считая у = у₀. Тогда функция f (x, y₀) будет функцией одной переменной х, для которой х = х₀ является точкой экстремума. Следовательно, по теореме Ферма или не существует. Аналогично доказывается такое же утверждение для .

Определение 5.3. Точки, принадлежащие области определения функции нескольких переменных, в которых частные производные функции равны нулю или не существуют, называются стационарными точками этой функции.

Замечание. Таким образом, экстремум может достигаться только в стационарных точках, но не обязательно он наблюдается в каждой из них.

Примеры.

1. Найдем стационарную точку функции z = x ² + y ². Для этого решим систему уравнений откуда х₀ = у₀ = 0. Очевидно, что в этой точке функция имеет минимум, так как при х = у = 0 z = 0, а при остальных значениях аргументов z > 0.
2. Для функции z = xy стационарной точкой тоже является (0, 0), но экстремум в этой точке не достигается (z ( 0, 0) = 0, а в окрестности стационарной точки функция принимает как положительные, так и отрицательные значения).

Теорема 5.2 (достаточные условия экстремума). Пусть в некоторой окрестности точки М₀ (х₀, у₀), являющейся стационарной точкой функции z = f (x, y), эта функция имеет непрерывные частные производные до 3-го порядка включительно. Обозначим Тогда:

1) f (x, y) имеет в точке М₀ максимум, если AC – B ² > 0, A < 0;

2) f (x, y) имеет в точке М₀ минимум, если AC – B ² > 0, A > 0;

3) экстремум в критической точке отсутствует, если AC – B ² < 0;

4) если AC – B ² = 0, необходимо дополнительное исследование.

Доказательство.

Напишем формулу Тейлора второго порядка для функции f (x, y), помня о том, что в стационарной точке частные производные первого порядка равны нулю:

где Если угол между отрезком М₀М, где М (х₀ + Δ х, у₀ + Δ у), и осью О х обозначить φ, то Δ х = Δ ρ cos φ, Δ y = Δρsinφ. При этом формула Тейлора примет вид: .

Пусть Тогда можно разделить и умножить выражение в скобках на А.

Получим:

. (5.1)

Рассмотрим теперь четыре возможных случая:

1) AC-B ² > 0, A < 0. Тогда , и при достаточно малых Δρ. Следовательно, в некоторой окрестности М₀ f (x₀ + Δ x, y₀ + Δ y) < f (x₀, y₀), то есть М₀ – точка максимума.

2) Пусть AC – B ² > 0, A > 0. Тогда , и М₀ – точка минимума.

3) Пусть AC-B ² < 0, A > 0. Рассмотрим приращение аргументов вдоль луча φ = 0. Тогда из (5.1) следует, что , то есть при движении вдоль этого луча функция возрастает. Если же перемещаться вдоль луча такого, что tg φ₀ = -A/B, то , следовательно, при движении вдоль этого луча функция убывает. Значит, точка М₀ не является точкой экстремума.

3) При AC – B ² < 0, A < 0 доказательство отсутствия экстремума проводится аналогично предыдущему.

3) Если AC – B ² < 0, A = 0, то . При этом . Тогда при достаточно малых φ выражение 2 B cosφ + C sinφ близко к 2 В, то есть сохраняет постоянный знак, а sinφ меняет знак в окрестности точки М₀. Значит, приращение функции меняет знак в окрестности стационарной точки, которая поэтому не является точкой экстремума.

4) Если AC – B ² = 0, а , , то есть знак приращения определяется знаком 2α₀. При этом для выяснения вопроса о существовании экстремума необходимо дальнейшее исследование.

Пример. Найдем точки экстремума функции z = x ² - 2 xy + 2 y ² + 2 x. Для поиска стационарных точек решим систему . Итак, стационарная точка (-2,-1). При этом А = 2, В = -2, С = 4. Тогда AC – B ² = 4 > 0, следовательно, в стационарной точке достигается экстремум, а именно минимум (так как A > 0).