Теоретические основы синтеза фильтров

Электрические фильтры – это четырёхполюсники, которые с пренебрежимо малым ослаблением ∆A пропускают колебания в определённых диапазонах частот f₀…f₁ (полосах пропускания) и практически не пропускают колебания в других диапазонах f₂…f₃ (полосах задерживания, или непропускания).

Рис. 2.1.1. Фильтр нижних частот (ФНЧ). Рис. 2.1.2. Фильтр верхних частот (ФВЧ).

Существует множество различных типов реализации электрических фильтров: пассивные LC-фильтры (схемы содержат индуктивные и емкостные элементы), пассивные RC-фильтры (схемы содержат резистивные и емкостные элементы), активные фильтры (схемы содержат операционные усилители, резистивные и емкостные элементы), волноводные, цифровые фильтры и другие. Среди всех типов фильтров особое положение занимают LC-фильтры, так как широко применяются в телекоммуникационном оборудовании в различных частотных диапазонах. Для фильтров этого типа существует хорошо разработанная методика синтеза, а синтез фильтров других типов во многом использует эту

методику. Поэтому в курсовой работе основное внимание уделяется синтезу

Рис. 2.1.3. Полосовой фильтр (ПФ). пассивных LC-фильтров.

Задачей синтеза электрического фильтра является определение схемы фильтра с минимально возможным числом элементов, частотная характеристика которой удовлетворяла бы заданным техническим требованиям. Часто требования предъявляются к характеристике рабочего ослабления . На рисунках 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3 требования к рабочему ослаблению заданы уровнями максимально допустимого ослабления в полосe пропускания А и уровнями минимально допустимого ослабления в полосе непропускания As. Задача синтеза разбивается на два этапа: задачу аппроксимации требований к рабочему ослаблению физически реализуемой функцией и задачу реализации найденной аппроксимирующей функции электрической цепью.

Решение задачи аппроксимации заключается в нахождении такой функции минимально возможного порядка, которая, во-первых, удовлетворяет заданным техническим требованиям к частотной характеристике фильтра, и, во-вторых, удовлетворяет условиям физической реализуемости.

Решение задачи реализации заключается в определении электрической цепи, частотная характеристика которой совпадает с функцией, найденной в результате решения задачи аппроксимации.

2.1. ОСНОВЫ СИНТЕЗА ФИЛЬТРОВ ПО РАБОЧИМ ПАРАМЕТРАМ.

Рассмотрим некоторые соотношения, характеризующие условия передачи энергии через электрический фильтр. Как правило, электрический фильтр используется в условиях, когда со стороны его входных зажимов подключаются устройства, которые на эквивалентной схеме могут быть представлены в виде активного двухполюсника с параметрами E(jω), R1, а со стороны выходных зажимов подключаются устройства, представляемые на эквивалентной схеме резистивным сопротивлением R2. Схема включения электрического фильтра представлена на рисунке 2.2.1.

На рисунке 2.2.2 представлена схема, на которой вместо фильтра и сопротивления R2 к эквивалентному генератору (с параметрами E(jω), R1) подключается нагрузочное сопротивление, величина которого равна сопротивлению генератора R1. Как известно, генератор отдаёт максимальную мощность в резистивную нагрузку, если сопротивление нагрузки будет равно сопротивлению внутренних потерь генератора R1.

Прохождение сигнала через четырёхполюсник характеризуется рабочей передаточной функцией T(jω). Рабочая передаточная функция позволяет сравнить мощность S₀(jω), отдаваемую генератором в нагрузку R1 (согласованную с его собственными параметрами), с мощностью S₂(jω), поступающую в нагрузку R2 после прохождения через фильтр:

. (2.1)

Аргумент рабочей передаточной функции arg{T(jω)} характеризует фазовые соотношения между э.д.с. E(jω) и выходным напряжением U₂(jω). Он называется рабочей фазовой постоянной передачи (обозначается греческой буквой «бета»):

·

При передаче энергии через четырёхполюсник изменения мощности, напряжения и тока по абсолютной величине характеризуются модулем рабочей передаточной функции . При оценке избирательных свойств электрических фильтров используется мера, определяемая логарифмической функцией. Эта мера – рабочее ослабление (обозначается греческой буквой «альфа»), которая связана с модулем рабочей передаточной функцией соотношениями:

, (Нп); или (2.2)

, (дБ). (2.3)

В случае использования формулы (2.2), рабочее ослабление выражается в неперах, а при использовании формулы (2.3) – в децибелах.

Величина называется рабочей постоянной передачи четырёхполюсника (обозначается греческой буквой «гамма»). Рабочая передаточная функция может быть представлена с использованием рабочего ослабления и рабочей фазы в виде:

.

В случае, когда сопротивление внутренних потерь генератора R1 и сопротивление нагрузки R2 являются резистивными, мощности S₀(jω) и S₂(jω) являются активными. Прохождение мощности через фильтр удобно характеризовать с помощью коэффициента передачи мощности, определяемого как отношение максимальной мощности P_max, получаемой от генератора согласованной с ним нагрузкой, к мощности P₂, поступающей в нагрузку R2:

. (2.4)

Реактивный четырёхполюсник не потребляет активной мощности. Тогда активная мощность P₁, отдаваемая генератором, равна мощности P₂, потребляемой нагрузкой:

. (2.5)

Значение модуля входного тока выразим: , и подставим в (2.5).

С помощью алгебраических преобразований представим (2.5) в виде:

. (2.6)

Представим числитель правой части уравнения в виде:

.

Левая часть уравнения (2.6) представляет собой величину, обратную коэффициенту передачи мощности:

.

Следующее выражение представляет собой коэффициент отражения мощности от входных зажимов четырёхполюсника:

. (2.7)

Коэффициент отражения (напряжения или тока) от входных зажимов четырёхполюсника, равный

, (2.8)

характеризует согласование входного сопротивления фильтра с сопротивлением R1.

Пассивный четырёхполюсник не может давать усиление по мощности, то есть .

Поэтому для таких цепей целесообразно пользоваться вспомогательной функцией , определяемой выражением:

. (2.9)

Представим рабочее ослабление в иной, более удобной для решения задачи синтеза фильтров, форме:

, дБ.

Очевидно, характер частотной зависимости рабочего ослабления связан с частотной зависимостью функции , называемой функцией фильтрации: нули и полюсы функции фильтрации совпадают с нулями и полюсами ослабления.

На основании формул (2.7) и (2.9) можно представить коэффициент отражения мощности от входных зажимов четырёхполюсника:

(2.10)

Перейдём к записи операторных изображений по Лапласу, учитывая, что p = jω, а также что квадрат модуля комплексной величины выражается, например . Выражение (2.10) в операторной форме имеет вид

. (2.11)

Операторные выражения , , являются рациональными функциями комплексной переменной «p», и поэтому их можно записать в виде

, , , (2.12)

где , , - являются полиномами, например:

.

Из формулы (2.11), учитывая (2.12), можно получить соотношение между полиномами:

(2.13)

На этапе решения задачи аппроксимации определяется выражение функции фильтрации, то есть определяются полиномы h(p), w(p); из уравнения (2.13) можно найти полином v(p).

Если выражение (2.8) представить в операторной форме , то можно получить функцию входного сопротивления фильтра в операторной форме:

. (2.14)

Условия физической реализуемости заключаются в следующем:

1. v(p) – должен быть полиномом Гурвица, то есть его корни располагаются в левой половине плоскости комплексной переменной p=α+j·Ω (требование устойчивости цепи);

2. w(p) – должен быть или чётным, или нечётным полиномом (для ФНЧ w(p) – чётный, чтобы не было полюса ослабления при ω=0; для ФВЧ w(p) – нечётный);

3. h(p) – любой полином с вещественными коэффициентами.

2.2. НОРМИРОВАНИЕ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ И ЧАСТОТЕ.

Численные значения параметров элементов L, C, R и граничных частот реальных фильтров могут принимать, в зависимости от технических условий, самые различные значения. Использование в вычислениях одновременно малых и больших величин приводит к значительной погрешности вычислений.

Известно, что характер частотных зависимостей фильтра не зависит от абсолютных величин коэффициентов функций, описывающих эти зависимости, а определяется лишь их соотношениями. Значения коэффициентов определяются значениями параметров L, C, R фильтров. Поэтому нормирование (изменение в одинаковое число раз) коэффициентов функций ведёт к нормированию величин параметров элементов фильтра. Таким образом, вместо абсолютных значений сопротивлений элементов фильтра берут их относительные величины, отнесённые к сопротивлению нагрузки R2 (или R1).

Кроме того, если нормировать значения частот относительно граничной частоты полосы пропускания (чаще всего используется именно это значение), то это ещё более сузит разброс величин, используемых в вычислениях, и повысит точность вычислений. Нормированные значения частот записываются в виде и являются безразмерными величинами, а нормированное значение граничной частоты полосы пропускания .

Для примера рассмотрим сопротивление последовательно соединённых элементов L, C, R:

Нормированное сопротивление: .

Введём в последнее выражение нормированные значения частот: где нормированные параметры равны: .

Истинные (денормированные) значения параметров элементов определяются:

. (2.15)

Изменяя значения f₁ и R2, можно из исходной схемы получать новые схемы устройств, работающих в других диапазонах частот и при других нагрузках. Введение нормирования позволило создать каталоги фильтров, что во многих случаях сводит сложную проблему синтеза фильтра к работе с таблицами.

2.3. ПОСТРОЕНИЕ ДУАЛЬНЫХ СХЕМ.

Дуальными величинами, как известно, являются сопротивление и проводимость. Для каждой схемы электрического фильтра может быть найдена дуальная ей схема. При этом входное сопротивление первой схемы будет равно входной проводимости второй, умноженной на коэффициент . Важно отметить, что рабочая передаточная функция Т(р) для обеих схем будет одинаковой. Пример построения дуальной схемы показан на рисунке 2.3.

Такие преобразования часто оказываются удобными, так как позволяют уменьшить число индуктивных элементов. Как известно, катушки индуктивности, по сравнению с конденсаторами, являются громоздкими и низкодобротными элементами.

Нормированные параметры элементов дуальной схемы определяются (при =1):

2.4. АППРОКСИМАЦИЯ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК.

На рисунках 2.1.1 – 2.1.3 представлены графики функций рабочего ослабления фильтра нижних частот (ФНЧ), фильтра верхних частот (ФВЧ), полосового фильтра (ПФ). На этих же графиках показаны уровни требуемого ослабления. В полосе пропускания f₀…f₁ задаётся максимально допустимое значение ослабления (так называемая неравномерность ослабления) ΔА; в полосе непропускания f₂…f₃ задаётся минимально допустимое значение ослабления A_S; в переходной области частот f₁…f₂ требования к ослаблению не предъявляются.

Прежде чем приступить к решению задачи аппроксимации производят нормирование требуемой характеристики рабочего ослабления по частоте, например для ФНЧ и ФВЧ:

Искомая аппроксимирующая функция должна удовлетворять условиям физической реализуемости и достаточно точно воспроизводить требуемую частотную зависимость рабочего ослабления. Существуют различные критерии оценки погрешности приближения, на которых основаны различные типы аппроксимации. В задачах аппроксимации амплитудно-частотных характеристик наиболее часто используют критерии оптимальности Тейлора и Чебышёва.

2.4.1. Аппроксимация по критерию Тейлора.

В случае применения критерия Тейлора искомая аппроксимирующая функция имеет следующий вид (нормированное значение):

, (2.16)

где - квадрат модуля функции фильтрации;

– порядок полинома (принимает целочисленное значение);

ε – коэффициент неравномерности. Его величина связана с величиной ∆А - неравномерностью ослабления в полосе пропускания (рис. 2.4). Поскольку на граничной частоте полосы пропускания Ω₁ =1, , следовательно

. (2.17)

Фильтры с частотными зависимостями ослабления (2.16) называются фильтрами с максимально плоскими характеристиками ослабления, или фильтрами с характеристиками Баттерворта, впервые применившего аппроксимацию по критерию Тейлора при решении задачи синтеза фильтров.

Квадрат модуля рабочей передаточной функции (нормированное значение)

. (2.18)

Порядок аппроксимирующей функции определяется на основании условия, что на граничной частоте полосы непропускания Ω₂ рабочее ослабление превышает минимально допустимое значение:

, откуда . (2.19)

Поскольку порядок полинома должен быть целым числом, получившееся значение

Рис.2.4. округляется до ближайшего большего

целого значения.

Выражение (2.18) представим в операторной форме, используя преобразование jΩ→ :

Найдём корни полинома : , откуда

.

k = 1, 2, …, NБ (2.20)

Корни принимают комплексно-сопряжённые значения и располагаются на окружности радиуса . Для формирования полинома Гурвица надо использовать только те корни, которые располагаются в левой половине комплексной плоскости:

.

На рисунке 2.5 показан пример размещения в комплексной плоскости корней полинома 9-го порядка, имеющих отрицательную реальную составляющую. Квадрат модуля

Рис. 2.5. функции фильтрации, согласно (2.16), равен:

;

- полином с вещественными коэффициентами; - полином чётного порядка. Таким образом, условия физической реализуемости выполняются.

2.4.2. Аппроксимация по критерию Чебышёва.

При использовании для аппроксимации по Тейлору степенных полиномов Ω^2·NБ получается хорошее приближение к идеальной функции вблизи точки Ω=0, но для того чтобы обеспечить достаточную крутизну аппроксимирующей функции при Ω>1 приходится увеличивать порядок полинома (а, следовательно, и порядок схемы).

Лучшую крутизну в переходной области частот можно получить, если в качестве аппроксимирующей выбрать не монотонную функцию (рис. 2.4), а функцию колеблющуюся в диапазоне значений 0 … ΔА в полосе пропускания при 0<Ω<1 (рис. 2.7).

Наилучшая аппроксимация по критерию Чебышёва обеспечивается применением полиномов Чебышёва P_N(x) (рис. 2.6). В интервале -1 < x < 1 отклонения аппроксимирующих функций от нулевого уровня равны ±1 и чередуются по знаку.

В интервале -1 < x < 1 полином Чебышёва порядка N описывается выражением

P_N(x) = cos(N·arccos(x)), (2.21)

при N=1 P₁(x) = cos(arccos(x)) = x,

при N=2 P₂(x) = cos(2·arccos(x)) = 2· cos²(arccos(x)) – 1 = 2·x² – 1,

при N≥3 полином P_N(x) можно вычислить, пользуясь рекуррентной формулой

P_N+1(x) = 2·х·P_N(x) - P_N-1(x).

При x > 1 значения полиномов Чебышёва монотонно возрастают и описывается выражением

P_N(x) = ch(N·Arch(x)). (2.22)

Функция рабочего ослабления (рис. 2.7) описывается выражением

, (2.23)

где ε – коэффициент неравномерности, определяемый по формуле (2.17);

- квадрат модуля функции фильтрации;

P_N(Ω) – полином Чебышёва порядка N.

Рабочее ослабление в полосе непропускания должно превышать значение A_S:

.

Подставив в это неравенство выражение (2.22) для значений частот полосы непропускания, решим его относительно величины N = NЧ - порядка полинома Чебышёва:

. (2.24)

Порядок полинома должен быть целым числом, поэтому получившееся значение необходимо округлить до ближайшего большего целого значения.

Квадрат модуля рабочей передаточной функции (нормированное значение)

. (2.25)

Поскольку нули ослабления (они же – корни полинома Гурвица) располагаются в полосе пропускания, в это выражение надо подставить выражение (2.21) для значений частот полосы пропускания.

Выражение (2.25) представим в операторной форме, используя преобразование jΩ→ :

Корни полинома определяются по формуле:

k = 1, 2, …, NЧ, (2.26)

где .

Комплексно-сопряжённые корни в комплексной плоскости располагаются на эллипсе. Полином Гурвица образуют только корни с отрицательной реальной составляющей:

.

Квадрат модуля функции фильтрации ; поэтому полином находим с применением рекуррентной формулы:

; ; ; .

является полиномом с вещественными коэффициентами; является полиномом чётной степени. Условия физической реализуемости выполняются.

2.5. РЕАЛИЗАЦИЯ АППРОКСИМИРУЮЩЕЙ ФУНКЦИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПЬЮ.

Один из методов решения задачи реализации основан на разложении в цепную дробь функции входного сопротивления

.

Процедура разложения описана в литературе: [1, глава 16], [2, глава 20] [3, глава 15]. Кратко пояснить разложение в цепную дробь можно следующим образом.

Функция представляет собой отношение полиномов. Сначала выполняется деление полинома числителя на полином знаменателя; затем полином, который был делителем, становится делимым, а полученный остаток становится делителем, и так далее. Полученные при делении частные образуют цепную дробь. Для схемы на рисунке 2.8 цепная дробь имеет вид (при =1):

.

Если необходимо, можно от полученной

схемы перейти к дуальной.

2.6. МЕТОД ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЧАСТОТНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.

Метод преобразования частотной переменной используется для синтеза ФВЧ и ПФ. Преобразование применяется только к нормированным частотам Ω.

2.6.1. Синтез ФВЧ. Сравнивая характеристики ФНЧ и ФВЧ на рисунках 2.9 и 2.10, можно заметить, что они взаимно обратные. Это означает, что если выполнить замену частотной переменной

или (2.27)

в выражении характеристики ФНЧ, то получится характеристика ФВЧ. Например, для фильтра с характеристикой Баттерворта

Использование этого преобразования эквивалентно замене емкостных элементов на индуктивные и наоборот:

, то есть

, то есть .

Чтобы синтезировать ФВЧ с использованием метода преобразования частотной переменной, необходимо выполнить следующее.

Рис. 2.9. ФНЧ с нормированной Рис. 2.10. ФВЧ с нормированной

характеристикой. характеристикой.

1. Выполнить нормирование частотной переменной .

2. Применить формулу (2.27) для преобразования частотной переменной

.

Пересчитанные требования к характеристике рабочего ослабления представляют собой требования к рабочему ослаблению так называемого ФНЧ-прототипа.

3. Синтезировать ФНЧ-прототип.

4. Применить формулу (2.27) для перехода от ФНЧ-прототипа к требуемому ФВЧ.

5. Выполнить денормирование параметров элементов синтезированного ФВЧ.

2.6.2. Синтез ПФ. На рисунке 2.1.3. изображена симметричная характеристика рабочего ослабления полосового фильтра. Так называется характеристика, геометрически симметричная относительно средней частоты .

Чтобы синтезировать ПФ с использованием метода преобразования частотной переменной, необходимо выполнить следующее.

1. Для перехода от требуемой симметричной характеристики ПФ к нормированной характеристике ФНЧ-прототипа (и воспользоваться уже известной методикой синтеза), необходима замена частотной переменной (рисунок 2.11)

Рис. 2.11.

2. Синтезировать нормированный ФНЧ-прототип по методике, представленной в разделах 2.4 и 2.5.

3. От схемы ФНЧ-прототипа перейти к схеме ПФ с нормированной характеристикой путём замены каждого индуктивного элемента в продольной ветви на последовательное соединение индуктивного и емкостного элементов с параметрами

;

и замены каждого емкостного элемента в поперечной ветви на параллельное соединение индуктивного и емкостного элементов с параметрами (рис. 2.12)

.

Рис. 2.12.

4. Выполнить денормирование параметров элементов

.

2.7. АКТИВНЫЕ ФИЛЬТРЫ.

Активные фильтры характеризуются отсутствием катушек индуктивности, так как свойства индуктивных элементов можно воспроизвести с помощью активных схем, содержащих активные элементы (операционные усилители), резисторы и конденсаторы. Такие схемы обозначаются: ARC-схемы. Недостатками катушек индуктивности являются низкая добротность (большие потери), большие габариты, высокая стоимость производства.

2.7.1. Основы теории ARC-фильтров. Для линейного четырёхполюсника (в том числе – линейного ARC-фильтра) соотношение между входным и выходным напряжением (в операторной форме) выражается передаточной функцией по напряжению:

,

где w(p) – чётный (К·р⁰ для ФНЧ) или нечётный (для ФВЧ) полином,

v(p) – полином Гурвица порядка N.

Для ФНЧ передаточную функцию (нормированную величину) можно представить в виде произведения сомножителей

где К = Н_U(0) = К2­₁·К2₂· … ·К2_(N/2) – значение функции H_U(p) (для фильтра чётного порядка) при передаче постоянного напряжения (то есть при f=0 или, в операторной форме, при р=0);

сомножители в знаменателе образованы произведением комплексно-сопряжённых корней

; (2.30)

в случае фильтра нечётного порядка имеется один сомножитель, образованный с использованием корня полинома Гурвица с реальным значением .

Каждый сомножитель передаточной функции может быть реализован активным фильтром (ARC) нижних частот второго или первого порядка. А вся заданная передаточная функция H_U(p) – каскадным соединением таких четырёхполюсников (рисунок 2.13).

Активный четырёхполюсник на базе операционного усилителя обладает очень полезным свойством - его входное сопротивление гораздо больше, чем его выходное сопротивление. Подключение к четырёхполюснику в качестве нагрузки сопротивления очень большой величины (такой режим работы близок к режиму холостого хода) не оказывает влияния на характеристики самого четырёхполюсника.

Н_U(р) = Н1_U(p) · H2_U(p) · … · Hk_U(p)

Рис. 2.13.

Например, активный фильтр нижних частот 5-го порядка может быть реализован схемой, представляющей собой каскадное соединение двух четырёхполюсников второго порядка и одного четырёхполюсника первого порядка (рис. 2.14), а ФНЧ 4-го порядка – состоит из каскадного соединения двух четырёхполюсников второго порядка. Четырёхполюсники с большей величиной добротности подключаются первыми в тракт передачи сигнала; четырёхполюсник первого порядка (с наименьшей добротностью и наименьшей крутизной частотной характеристики) подключается последним.

2.7.2. Синтез ARC фильтра производится с использованием передаточной функции по напряжению (2.29). Нормирование по частоте производится относительно частоты среза f_c. При частоте среза значение передаточной функции по напряжению меньше максимального Hmax в раз, а значение ослабления равно 3 дБ

.

Рис. 2.14. ARC фильтр нижних частот 5-го порядка.

Нормирование частотных характеристик производится относительно f_c. Если решить уравнения (2.16) и (2.23) относительно частоты среза, то получим выражения

- для ФНЧ с характеристикой Баттерворта;

- с характеристикой Чебышёва.

В зависимости от типа характеристики фильтра – Баттерворта или Чебышёва, - определяется порядок аппроксимирующей функции по формулам (2.19) или (2.26).

Корни полинома Гурвица определяются по формулам (2.20) или (2.26). Передаточная функция по напряжению для четырёхполюсника второго порядка может быть образована с использованием пары комплексно-сопряжённых корней, а, кроме того, может быть выражена через параметры элементов схемы (рис. 2.14). Анализ схемы и вывод выражения (2.31) не приводится. Аналогичным образом записывается выражение (2.32) для четырёхполюсника первого порядка.

(2.31)

(2.32)

Поскольку величина сопротивления нагрузки не влияет на характеристики активного фильтра, денормирование выполняется исходя из следующего. Сначала выбираются приемлемые значения резистивных сопротивлений (10 … 30 кОм). Затем определяются реальные значения параметров ёмкости; для этого в выражении (2.15) используется f_c.

CОДЕРЖАНИЕ
1.Общие сведения о дисциплине ………….………………………………
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ……………………………………………….
2. Методические указания по изучению курса ……………………….….
Анализ цепей с распределёнными параметрами …………………
Теоретические основы синтеза фильтров ……………………….…
Содержание	……………………………………………………………..