Рассмотрим задачу, специфическую для функций нескольких переменных, когда ее экстремум ищется не на всей области определения, а на множестве, удовлетворяющем некоторому условию.
Пусть имеется функция , аргументы x и y которой удовлетворяют условию , называемому уравнением связи.
Определение 1. Точка называется точкой условного максимума или минимума, если существует такая ее окрестность, что для всех точек из этой окрестности, удовлетворяющих условию , выполняется неравенство или .
Наиболее простым способом нахождения условного экстремума функции двух переменных является сведение задачи к отысканию экстремума функции одной переменной. Допустим, уравнение связи удалось разрешить относительно одной из переменных, например выразить y через x, т.е . Подставив полученное выражение в функцию двух переменных, получим , т.е. функцию одной переменной. Ее экстремум и будет условным экстремумом функции .
Для отыскания условного экстремума в общем случае используется метод множителей Лагранжа.
|
|
Рассмотрим функцию трех переменных
.
Эта функция называется функцией Лагранжа, а - множителем (коэффициентом) Лагранжа. Доказывается следующая теорема:
Теорема 1. Если точка является точкой условного экстремума функции при условии , то существует значение такое, что точка является точкой экстремума функции .
Таким образом, для нахождения условного экстремума функции при условии требуется найти решение следующей системы:
Последнее из этих уравнений совпадает с уравнением связи. Данная система выражает необходимые условия Лагранжа условного экстремума.
Из этой системы уравнений находят критические точки условного экстремума.
Определение 2. Точка называется критической точкой функции Лагранжа, если , , (или не существуют).
Для исследования критических точек на экстремум вычисляем в полученных точках значения , , , , и составляем определитель
.
Тогда достаточные условия условного экстремума запишутся в следующем виде:
1. Если , то функция имеет в точке условный минимум;
2. если - то условный максимум.
Исследование функции на условный экстремум с помощью метода множителей Лагранжа проводится по следующему алгоритму:
1. Составить функцию Лагранжа
.
2. Найти частные производные , , и приравнять их к нулю, т.е. составить необходимые условия экстремума функции Лагранжа.
3. Решить систему уравнений
и найти критические точки.
4. Найти частные производные:
, , , , .
5. Вычислить значения найденных частных производных в каждой критической точке.
6. Из найденных значений составить определитель .
7. С помощью достаточных условий сделать вывод о характере экстремальной точки.
|
|
8. Найти значения функции в точках условного экстремума.
1. Находим производную .
Решение. Из уравнения связи выразим переменную y через переменную x и подставим полученное выражение в функцию z. Получим или . Эта функция одного переменного. Исследуем ее на экстремум:
Пример 1. Исследовать на экстремум функцию при условии .
Рассмотрим типичные примеры для решения которых используются приведенные понятия, определения и теоремы: Геометрический смысл условий Лагранжа. Линия пунктирная (рис.1), линии уровня функции – сплошные. В точке условного экстремума линия уровня функции касается линии .
2. Приравняем производную к нулю, получим уравнение , решением которого служит значение .
3. Находим вторую производную , так как ее значение в критической точке больше нуля, то по второму достаточному условию экстремума делаем вывод, что – точка минимума функции .
При этом соответствующее значение функции . Таким образом, – точка условного экстремума (минимума) и .
Ответ: – точка условного минимума; .
Пример 2. Найти экстремумы функции при условии .
Решение. Используем метод множителей Лагранжа. Уравнение связи имеет вид:
.
1. Составим функцию Лагранжа: ;
2. Находим частные производные: , , .
3. Приравняем частные производные к нулю, получим систему:
Таким образом, получили две критические точки при и при .
4. Находим следующие производные: ; ; , ; .
5. Вычисляем значения найденных частных производных в каждой критической точке:
1) при :
; ; , ; ;
2) при :
; ; , ; .
6. Составляем из найденных значений определитель:
1) ,
2)
7. Проверяем в каждой точке выполнение достаточного условия. Так как , то в точке условный минимум; а из того, что делаем вывод, что в точке условный максимум.
8. Вычисляем значения функции в критических точках: , .
Ответ: при - точка условного максимума, ;
при – точка условного минимума, .
Пример 3. Найти экстремумы функции при условии, что .
Решение. Используем метод множителей Лагранжа.
1. Составим функцию Лагранжа: ;
2. Находим частные производные: , , .
3. Приравняем частные производные к нулю, получим систему:
Из первых двух уравнений системы находим ; подставляем это выражение в третье уравнение, получаем два решения и . Таким образом, получили две критические точки при и при .
4. Находим следующие производные: ; ; , ; .
5. Вычисляем значения найденных частных производных в каждой критической точке:
1) при :
; ; , ; ;
2) при :
; ; , ; .
6. Составляем из найденных значений определитель:
1) ,
2) .
7. Проверяем в каждой точке выполнение достаточного условия. Так как , то в точке условный максимум; а из того, что делаем вывод, что в точке условный минимум.
8. Вычисляем значения функции в критических точках: , .
Ответ:
при - точка условного максимума, ;
при – точка условного минимума, .