2015-03-20
15141
Рассмотрим зависимое событие 
, которое может произойти лишь в результате осуществления одной из несовместных гипотез 
, которые образуют полную группу. Пусть известны их вероятности 
и соответствующие условные вероятности 
. Тогда вероятность наступления события равна:
Эта формула получила название формулы полной вероятности. В учебниках она формулируется теоремой, доказательство которой элементарно: согласно алгебре событий, 
(произошло событие 
и после него наступило событие или произошло событие 
и после него наступило событие или произошло событие 
и после него наступило событие или …. или произошло событие 
и после него наступило событие ). Поскольку гипотезы несовместны, а событие – зависимо, то по теореме сложения вероятностей несовместных событий (первый шаг) и теореме умножения вероятностей зависимых событий (второй шаг):
Задача 1
Имеются три одинаковые урны. В первой урне находятся 4 белых и 7 черных шаров, во второй – только белые и в третьей – только черные шары. Наудачу выбирается одна урна и из неё наугад извлекается шар. Какова вероятность того, что этот шар чёрный?
|
|
|
Решение: рассмотрим событие – из наугад выбранной урны будет извлечён чёрный шар. Данное событие может произойти в результате осуществления одной из следующих гипотез:
– будет выбрана 1-ая урна;
– будет выбрана 2-ая урна;
– будет выбрана 3-я урна.
Так как урна выбирается наугад, то выбор любой из трёх урн равновозможен, следовательно:
Обратите внимание, что перечисленные гипотезы образуют полную группу событий, то есть по условию чёрный шар может появиться только из этих урн, а например, не прилететь с бильярдного стола. Проведём простую промежуточную проверку:
, ОК, едем дальше:
В первой урне 4 белых + 7 черных = 11 шаров, по классическому определению:
– вероятность извлечения чёрного шара при условии, что будет выбрана 1-ая урна.
Во второй урне только белые шары, поэтому в случае её выбора появления чёрного шара становится невозможным: 
.
И, наконец, в третьей урне одни чёрные шары, а значит, соответствующая условная вероятность извлечения чёрного шара составит 
(событие достоверно).
По формуле полной вероятности:
– вероятность того, что из наугад выбранной урны будет извлечен чёрный шар.
Ответ: 
Задача 2
В тире имеются 5 различных по точности боя винтовок. Вероятности попадания в мишень для данного стрелка соответственно равны 
и 0,4. Чему равна вероятность попадания в мишень, если стрелок делает один выстрел из случайно выбранной винтовки?
Задача 3
В пирамиде 5 винтовок, три из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,7. Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок производит один выстрел из наудачу взятой винтовки.
|
|
|
Решение: в этой задаче количество винтовок точно такое же, как и в предыдущей, но вот гипотезы всего две:
– стрелок выберет винтовку с оптическим прицелом;
– стрелок выберет винтовку без оптического прицела.
По классическому определению вероятности: 
.
Контроль: 
Рассмотрим событие: – стрелок поразит мишень из наугад взятой винтовки.
По условию: 
.
По формуле полной вероятности:
Ответ: 0,85
На практике вполне допустим укороченный способ оформления задачи, который вам тоже хорошо знаком:
Решение: по классическому определению: 
– вероятности выбора винтовки с оптическим и без оптического прицела соответственно.
По условию, 
– вероятности попадания в мишень из соответствующих типов винтовок.
По формуле полной вероятности:
– вероятность того, что стрелок поразит мишень из наугад выбранной винтовки.
Ответ: 0,85
Следующая задача для самостоятельного решения:
Задача 4
Двигатель работает в трёх режимах: нормальном, форсированном и на холостом ходу. В режиме холостого хода вероятность его выхода из строя равна 0,05, при нормальном режиме работы – 0,1, а при форсированном – 0,7. 70% времени двигатель работает в нормальном режиме, а 20% – в форсированном. Какова вероятность выхода из строя двигателя во время работы?
