Типовые задачи по аналитической геометрии для подготовки к экзамену

1. АВСDA₁B₁C_!D₁ – параллелепипед. Постройте точки, заданные равенствами , , , , . Представьте вектор несколькими способами в виде а) суммы векторов, заданных построенными точками, б) линейной комбинации векторов, заданных построенными точками.

2. Даны две различные точки А и В. Постройте точки E, C, D, H, K, заданные равенствами . Выразите векторы , , , , , , , , через вектор .

3. ABCD – параллелограмм, = 4 , N = (АD) Ç (BM), , . Выразите векторы , , , , , через векторы и .

4. ABCD – тетраэдр, , , , . Выразите векторы , , , , , , , через векторы , , (здесь О – точка пересечения медиан грани АВС).

5. В базисе даны векторы и и . Найдите коэффициенты a, b, g так, чтобы .

6. Найдите коэффициенты a и b так, чтобы векторы и были коллинеарными.

7. Найдите коэффициент a так, чтобы векторы , и были компланарными.

8. В базисе даны векторы и . Найдите , , и , если , , .

9. В базисе даны векторы , Найдите , , и , если , , , .

10. ABCDEF – правильный шестиугольник с единичной стороной, , , . Найдите и ортогональную проекцию вектора на направление вектора . (Дайте векторное решение)

11. ABCDA₁B₁C₁D₁ – прямоугольный параллелепипед, | АВ | = 2, | ВС | = 4, | АА₁ | = 5, , , . Найдите и ортогональную проекцию вектора на направление вектора . (Дайте векторное решение)

12. Докажите векторным методом теорему о трёх перпендикулярах.

13. ABCDEF – правильный шестиугольник, . Найдите координаты вершин шестиугольника в системе координат, заданной репером , где О – центр шестиугольника, , . Постройте точки с координатами (2, 1), (-1, 1), (2, -1), (-1,-1).

14. АВСDA₁B₁C_!D₁ – параллелепипед. Найдите координаты его вершин в системе координат, заданной репером , где О – центр параллелепипеда, , , . Постройте точки с координатами (-0,5; 0; 0,5), (0; -1; 1), (1; 1; 1).

15. В условиях предыдущей задачи найдите координаты точек М, Р, К, если , , .

16. ABCDEF – правильный шестиугольник, . Постройте точки, заданные координатами М(2; 2), N(-1; 1), P(1,5; -1,5) в системе координат, заданной репером , где О – центр шестиугольника, , . Найдите расстояния между этими точками, и площадь треугольника .

17. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ с единичным ребром точки M, N, P, Q, Т заданы равенствами , , , , , a Î R.

1) Используя только определение векторного произведения, найдите , , .

2) Используя геометрический смысл модуля векторного произведения, найдите , .

3) Введя ортонормированный базис, найдите , .

4) Найдите площадь треугольника MPQ.

18. Упростите выражение .

19. Аффинная система координат задана репером , где , . Тетраэдр задан координатами своих вершин А (2, -3, 4), В (5, 1, 2), С (-3, 2,-3), D (4, -4, 5).

Найдите а) длины рёбер, б) величины плоских углов при вершине В, в) площадь грани АВС, г) объём тетраэдра, д) высоту, опущенную на грань АВС.

20. Векторы , , заданы в ортонормированном базисе. Найдите и , и . Сравните полученные результаты.

21. В параллелограмме ABCD точки М, N, P заданы равенствами , , . Найдите площадь треугольника MNP и длину его высоты, опущенной из вершины М, если , , .

22. Векторы , , заданы в базисе . Найдите , если , , . Определите ориентацию данной тройки векторов.

23. Найдите a и b так, чтобы векторы , и были компланарными.

24. В прямоугольной системе координат заданы координаты вершин тетраэдра А(-1, 5, 2), В(3, 4, -1), С(4, 4, 5), D(3, -2, 8). Найдите объём тетраэдра, площадь грани АВС, длину высоты, опущенной из вершины D. Определите ориентацию тройки векторов , , .

25. Заполните таблицу (система координат аффинная).

№	Данные, определяющие прямую	Чертёж	Парамет- рические уравнения	Канони- ческое уравнение	Общее уравнение
	l ' A, l || , A(x0, y0),
					Px + Qy + D = 0

26. Исследуйте взаимное расположение прямых, заданных в аффинной системе координат уравнениями:

1) 5 х - 6 у + 30 = 0; 2) ; 3) 4) , 5) 3 х + 8 у + 5 = 0.

27. Найдите уравнения всех сторон и диагоналей параллелограмма, если одна из его сторон лежит на прямой , одной из его вершин является точка А (-1; 1) и точка К (4, 1) – его центр. Система координат аффинная.

28. Составьте уравнения сторон параллелограмма ABCD, зная, что его диагонали пересекаются в точке М (1, 6), а стороны АВ, ВС, CD и DА проходят соответственно через точки Р (3, 0), К (6, 6), Т (5, 9), Н (-5, 4). Система координат аффинная.

29. Прямая р проходит через точку Р (-3, -5) так, что отрезок, высекаемый на ней прямыми 2 х + 3 у - 15 = 0 и 4 х - 5 у - 12 = 0, делится точкой Р пополам. Найдите уравнение прямой р. Система координат аффинная.

30. Даны вершины треугольника А (4, 6), В (-4, 0), С (-1, -4). Составьте уравнение высоты, опущенной из вершины А на сторону ВС. Система координат прямоугольная.

31. Найдите точку, симметричную точке М (-2, 9) относительно прямой 2 х - 3 у + 18 = 0. Система координат прямоугольная.

32. Найдите координаты точки, лежащей на прямой х - 3 у + 1 = 0 и равноудалённой от точек (-3, 1) и (5, 4). Система координат прямоугольная.

33. В D АВС известны уравнения стороны АВ: 4 х + у - 12 = 0, высоты ВН: 5 х - 4 у - 15 = 0 и высоты АН: 2 х + 2 у - 9 = 0. Составьте уравнения двух других сторон и третьей высоты. Система координат прямоугольная.

34. Найдите косинус и тангенс угла между прямыми 2 х + 5 у - 3 = 0 и 5 х + 2 у + 6 = 0. Система координат прямоугольная.

35. Даны координаты вершин В (-2, 1) и С(4, 5) в основании равнобедренного треугольника и косинус угла при вершине А: . Найдите координаты вершины А. Система координат прямоугольная.

36. Определите расстояния от точек (1, 0) и (-1, 2) до прямой 3 х - у +4 = 0. Система координат прямоугольная.

37. Составьте уравнения прямых, отстоящих от прямой 5 х + 12 у + 1 = 0 на расстояние 5. Система координат прямоугольная.

38. Составьте уравнения биссектрис углов между прямыми и Система координат прямоугольная.

39. Центр симметрии квадрата находится в точке (-1, 0), уравнение одной из его сторон х + 3 у - 5 = 0. Составьте уравнения трёх других его сторон. Система координат прямоугольная.

40. Заполните таблицу (система координат аффинная).

№	Данные, определяющие плоскость	Чертёж	Парамет- рические уравнения	Уравнение с определи- телем	Общее уравнение
	П ' М1, М2, М3, М1 (2, -4, 0), М2 (-7, 3, 5), М3 (0, 5, 3).
					5 х - 3 у + 15 = 0

41. Запишите общие уравнения плоскостей

42. Что задают следующие условия в системе аффинных координат?

43. Даны уравнения трёх граней параллелепипеда 2 х + 3 у + 4 z - 12 = 0, x + 3 y - 6 = 0, z + 5 = 0 и координаты (6, -5, 1) одной из его вершин. Составьте уравнения остальных трёх граней параллелепипеда. Система координат аффинная.

44. Найдите основание перпендикуляра, опущенного из точки (1, 3, 5) на прямую, по которой пересекаются плоскости 2 x + y + z - 1 = 0 и 3 x + y + 2 z - 3 = 0. Система координат прямоугольная.

45. В прямоугольной системе координат заданы координаты вершин тетраэдра А (-1, 5, 2), В (3, 4, -1), С (4, 4, 5), D (3, -2, 8). Найдите длину высоты, опущенной из вершины D. Система координат прямоугольная.

46. Составьте уравнение плоскости, параллельной плоскости 2 x + y - 4 z + 5 = 0 и отстоящей от точки (1, 2, 0) на расстоянии . Система координат прямоугольная.

47. Что задают в аффинной системе координат следующие системы уравнений?

48. Составьте в АСК общее уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку М₀ (-5, 4, 1).

49. Исследуйте взаимное расположение прямых, заданных в АСК уравнениями и Если прямые скрещиваются, то найдите уравнения плоскостей, каждая из которых проходит через одну из данных прямых параллельно второй прямой.

50. Найдите в ПДСК а) величину одного из углов между прямыми и , б) расстояние между этими прямыми, в) уравнение их общего перпендикуляра.

51. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку (1, -3, 7) перпендикулярно плоскости 2 x + y - 4 z + 5 = 0. Система координат прямоугольная.

52. Найдите в АСК а) точку пересечения прямой и плоскости 2 x + y - 4 z + 5 = 0, б) угол между ними, если , , ,

53. Что задают в ПДСК на плоскости следующие уравнения

а) 4 х² + 9 у² - 36 = 0, б) 4 х² + 9 у² + 36 = 0, в) 4 х² - 9 у² - 36 = 0, в) 4 х² - 9 у² + 36 = 0, г) 4 х + 9 у² - 36 = 0, д) 4 х² + 9 у + 36 = 0,

е) 4 х² + 8 х + 9 у² - 18 у - 36 = 0, ж) 4 х² + 8 х - 9 у² - 18 у - 36 = 0, з) 4 х + 9 у² + 18 у - 36 = 0? Найдите все характеристики этих линий. Сделайте чертежи. Для первых двух линий найдите уравнения касательных, параллельных прямой 2 х + 3 у = 6.

54. В ПДСК составьте каноническое уравнение гиперболы, если уравнения её асимптот у = ± 3 х, а уравнения директрис х = ± 4.

55. В ПДСК составьте каноническое уравнение эллипса, если уравнения его директрис х = ± 4 и малая полуось равна 1,5.