Метод ортогональных проекций (метод Монжа)

Если предмет пространства спроецировать на 2 или 3 взаимно перпендикулярные плоскости, то такой метод проецирования называется методом Монжа (по имени его автора - французского ученого Гаспара Монжа).

π₁ – горизонтальная плоскость проекций

π₂ – фронтальная плоскость проекций

π₃ – профильная плоскость проекций

В пересечении плоскостей получаем оси координат х, у, z. Точку пересечения координат называют началом координат О или центром проекций.

Из (•) А опускаем _┴ на 3 плоскости и получаем проекции точки на этих плоскостях:

А' - горизонтальная проекция (•) А

А" - фронтальная проекция (•) А

A"' - профильная проекция (•) А

Расстояния от (•) А до плоскостей проекций называют координатами точки. Масштаб по осям Ох и Оz - 1:1, по оси Оу – 1:2. Для определения положения точки в пространстве необходимы ее три прямоугольные координаты или две ее ортогональные проекции (рис. 6).

Рис. 6

Совместим плоскость π₁ с π₂ и π₃ сπ₂ путем вращения вокруг осей Ох и Оz, получим плоское изображение точки - эпюр. Такое плоское изображение точки показано на рис.7.

При построении (•) на эпюре горизонтальная проекция А' характеризуется координатами х, у;

фронтальная А" – х, z;

профильная A"' - у, z.

На эпюре горизонтальная и фронтальная проекция (•) находятся на одном _┴ к оси Ox (А'А" _┴ Оx), фронтальная и профильная проекции точки находятся на одном _┴ к оси Oz (А"A"' _┴ Oz), т.к. это плоский чертеж, искажения по осям Ox, Oy, Oz нет. Геометрическая связь между тремя проекциями точки позволяет находить третью проекцию по двум заданным графически - при помощи линий проекционной связи, а также путем измерения координат.

Рис.7

Пример 1. По двум заданным проекциям точек А, В, С построить третью. Построить наглядные изображения точек (рис.8).

Рис.8

1. На пересечении линии связи A'A" с осью х отметим вспомогательную точку А_х (рис. 9).

2. Проведем линию связи из горизонтальной проекции точки А' у_π1, отметим вспомогательную точку А _у.

3. Перенесем вспомогательную точку А_у на ось у_π3. Для этого поставим циркуль в начало координат (точка О) радиусом ОАу и проведем дугу до оси у_π3.

4. Из фронтальной проекции точки A" проведем линию связи z и на оси z отметим вспомогательную точку А _z.

5. На пересечении линий связи, проведенных из точки А_у и А _z перпендикулярно осям у и z, определим профильную проекцию точки А'''.

6. Для нахождения профильной проекции В''' проведем линии связи х и z, отметим на оси х вспомогательную точку В _х, на оси z‑ точку В _z. В _у находится в начале координат, т.к. координата у для точки В равна 0. Помня о том, что В '' В ''' z, отметим на оси z В ''', совпадающую с В _z.

7. Для построения недостающей проекции С''' рассуждаем следующим образом: С' (10, 0); С'' (10, 0), где z =0 и у =0, следовательно, С''' (у, z) => С''' (0, 0) находится в начале координат, в точке О.

Рис.9

Построим наглядные изображения точек А, В, С (рис.10).

Изображаем три взаимно перпендикулярные плоскости π₁, π₂, π₃.

π2∩π1=х

π2∩π3=z

π1∩π3=у

Ось у направляем под углом 45º к оси х. При построении наглядного изображения принимаем коэффициент искажения по осям к_х=к_z= 1, к_y= 0,5.

1. Отметим вспомогательные точки А _х, А _у, А _z, измеряя расстояния на эпюре Монжа.

2. Строим проекции А ', А '', А '''.

А'=(Ах А' ׀׀ у)∩(Ау А' х׀׀ )

А''=(Ах А'' ׀׀ z)∩(А''' Аz ׀׀ х)

А'''=(Ау А''' ׀׀ z)∩(Аz А''' ׀׀ у)

3. Строим наглядное изображение точки А.

Проведем (А' А) ׀׀ z

(А'' А) ׀׀ у (А''' А) ׀ ׀ x, на пересечении этих линий получим точку А.

Рис. 10

Если точка лежит в пространстве, то на эпюре ни одна из ее проекций с самой точкой не совпадает. Если одна из координат равна нулю - точка лежит на плоскости и совпадает со своей проекцией на этой плоскости, при равенстве нулю двух координат - точка лежит на оси. При равенстве всех трех координат 0 – точка лежит в начале координат.