1.6.1. Интегралы вида , где R – рациональная функция
Интегралы указанного вида приводят к интегралам от рациональных функций с помощью так называемой универсальной тригонометрической подстановки . В результате этой подстановки имеем:
; ; x = arctg t; .
Пример 1. Найти .
Решение. Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой:
=
= = =
= = = =
=
Пример 2. Найти .
Решение. Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой:
= = =
= = = = =
Универсальная подстановка во многих случаях приводит к сложным вычислениям, т.к. при ее применении sin x и cos x выражаются через t в виде рациональных дробей, содержащих t 2.
В некоторых частных случаях нахождение интегралов вида может быть упрощено.
1. Если R (sin x, cos x) – нечетная функция относительно sin x, т.е.
R (–sin x, cos x) = – R (sin x, cos x),
то подынтегральная функция сводится к рациональной с помощью подстановки:
cos x = t, sin x = , x = arccost, dx = . (1.6.1)
2. Если R (sin x, cos x) – нечетная функция относительно cos x, т.е.
R(sin x, –cos x) = –R(sin x, cos x),
то интеграл рационализируется подстановкой:
|
|
sin x = t, cos x = , x = arcsin t, dx = . (1.6.2)
3. Если R (sin x, cos x) – четная функция относительно sin x и cos x, т.е.
R (–sin x, –cos x) = R (sin x, cos x),
то интеграл рационализируется подстановкой:
tg x = t, sin x = , cos x = , x = arctg t, dx = . (1.6.3)
Пример 3. Найти .
Решение. Заметим, что подынтегральная функция нечетная относительно sin x. Действительно . Тогда удобнее воспользоваться подстановкой (1) cos x = t; ;
= =
Под знаком интеграла неправельная дробь, выделим целую часть.
t 2 – 1 | t – 3 |
t 2 – 3 t | t + 3 |
3 t – 1 | |
3 t – 9 | |
Тогда = = =
= .
Пример 4. Найти .
Решение. Заметим, что подынтегральная функция нечетная относительно cos x. Действительно . Тогда удобнее воспользоваться подстановкой (2)
sin x = t, cos x = , x = arcsin t, dx = .
= = =
= = = = =
Пример 5. Найти .
Решение. Подынтегральная функция четная относительно sin x и cos x. Действительно
=
= .
Тогда удобнее воспользоваться подстановкой (1.6.3)
tg x = t, sin x = , cos x = , x = arctg t, dx = .
= =
= = = =
1.6.2. Интегралы вида .
Выделим здесь два случая, имеющие особенно важное значение.
Случай 1. По крайней мере, один из показателей m или n – нечетное положительной число.
Если n – нечетное положительной число, то применяется подстановка sin x = t;
если m – нечетное положительное число, то применяется подстановка cos x = t.
Пример 6. Найти .
Решение. В нечетной степени cos x, значит используем подстановку
sin x = t.
= .
Пример 7. Найти .
Решение. В нечетной степени sin x, следовательно используем подстановку cos x = t.
= = =
= = =
= .
Случай 2. Оба показателя степени m и n – четные положительные числа. Здесь следует преобразовать подынтегральную функцию с помощью формул понижения степени:
|
|
, (1.6.4)
, (1.6.5)
. (1.6.6)
Пример 8. Найти .
Решение. Из формулы (4) следует, что
= = .
Применив теперь формулу (5), получаем:
= = .
Итак,
= =
= = .
1.6.3. Интегралы вида и , где m – целое положительное число.
При нахождении таких интегралов применяются формулы
, ,
с помощью которых последовательно понижается степень тангенса и котангенса.
Пример 9. Найти .
Решение.
= = =
= = =
= .
4. Интегралы вида , ,
.
Тригонометрические формулы
, (1.6.7)
, (1.6.8)
. (1.6.9)
дают возможность произведение тригонометрических функций представить в виде суммы или разности.
Пример 10. Найти .
Решение. Используя формулу (1.6.7), получим
= = =
= .
Пример 11. Найти .
Решение. Применим к произведению sin x × sin 2x формулу (1.6.9)
= =
= = .
Применим формулу (1.6.8):
= –
– =
= =
= .
Задачи для самостоятельного решения. Найти интегралы.
194. | 195. |
196. | 196. |
198. | 199. |
200. | 201. |
202. | 203. |
204.. | 205. |
206. | 207. |
208. | 209. |
210.. | 211. |
212. | 213. |
214. | 215. |
216. | 217. |
218. | 219. |
220. | 221. |
222. | 223. |
224. | 225. |
226. | 227. |
228. | 229. |
230. | 231. |