Ортогональная система трех плоскостей проекций

В практике для изображения геометрических объектов, решения некоторых задач возникает необходимость использовать третью плоскость проекций p₃, перпендикулярную p₁ и p₂. Плоскость p₃ – профильная плоскость проекций. А ₃ – профильная проекция точки А.

Система трех плоскостей проекций делит пространство на 8 октантов, октанты принято нумеровать римскими цифрами (рис. 2.3).

Рис. 2.3. Система трёх плоскостей проекций

В первом октанте все координаты положительные.

Чтобы перейти к чертежу на плоскости, совместим все три плоскости в одну плоскость p₂ по направлениям, указанным на чертеже. Плоскость p₁ вращаем вокруг оси x ₁₂ на 90°, плоскость p₃ – вокруг оси z ₂₃ на 90° против часовой стрелки. При этом ось y раздваивается.

Получается комплексный чертеж точки (рис. 2.4).

Рис. 2.4. Комплексный чертеж точки

На комплексном чертеже все проекции точки А ₁, А ₂, А ₃ находятся в проекционной связи. Каждая проекция точки определяется двумя координатами:

А ₁ – x, y ₁;

А ₂ – x, z;

A ₃ – y ₃, z.

В данном примере x = 30, y = 25, z = 35. Третья профильная проекция точки может быть определена по линиям связи от проекций А ₁ и А ₂. Проекции А ₂ и А ₃ расположены на одной горизонтальной линии связи, которая определяется координатой z (отрезок OA_z), а от горизонтальной проекции А ₁ проводим линию связи перпендикулярно оси y ₁, отрезок OA_y (координата y) переносим против часовой стрелки на горизонтальную ось y ₃ и восставляем перпендикуляр (линию связи) до пересечения с горизонтальной линией связи от А ₂. Координата у от А ₁ переносится на горизонтальную ось у ₃ всегда против часовой стрелки, так как плоскость p₃ при совмещении с p₂ разворачивается против часовой стрелки.

Профильную проекцию А ₃ можно определить, откладывая координаты на соответствующих осях проекций с учетом знака.

Знаки координат зависят от того, в каком октанте расположена точка (табл. 1).

Таблица 1

Координата	Октанты
I	II	III	IV	V	VI	VII	VIII
x	+	+	+	+	–	–	–	–
y	+	–	–	+	+	–	–	+
z	+	+	–	–	+	+	–	–

2.3. Точки разных углов пространства. Точки
частного положения

Если точка не принадлежит ни одной плоскости проекций, она занимает общее положение.

Если точка расположена в плоскости проекций или на оси проекций, она занимает частное положение.

Рассмотрим ряд точек общего положения (рис. 2.5, 2.6).

Точка В (x = 30, y = 25, z = –35) находится в IV октанте. Проекция В ₁ расположена ниже оси x на положительном направлении оси у. Проекция В ₂ расположена тоже ниже оси х на отрицательном направлении оси z. В ₃ определяется по линиям связи от В ₁ и В ₂ или по координатам y = 25, z = –35.

Точка С (x = –30, y = 40, z = 30) находится в V октанте. Проекция С ₁ расположена справа от оси z на отрицательном направлении оси x и ниже оси х на положительном направлении оси у. Проекция С ₂ расположена выше оси х на положительном направлении оси z.

Рис. 2.5. Точки в II и V октантах

Рис. 2.6. Комплексный чертеж точек в IV и V октантах

С ₃ определяется по линиям связи от С ₁ и С ₂ или по координатам y = 40, z = 30.

Рассмотрим точки частного положения, расположенные на плоскостях и осях проекций.

Если координата х = 0, то точка принадлежит плоскости p₃.

Если координата у = 0, то точка принадлежит плоскости p₂.

Если координата z = 0, то точка принадлежит плоскости p₁.

Рассмотрим ряд точек частного положения (рис. 2.7, 2.8).

Рис. 2.7. Точки частного положения

Точка D (x = 0, y = 30, z = 20) принадлежит плоскости p₃ и совпадает с профильной проекцией D ₃, проекции D ₁ и D ₂ расположены соответственно на осях у и z.

Точка Е (x = 30, y = 0, z = 35) принадлежит плоскости p₂ и совпадает с фронтальной проекцией Е ₂, проекции Е ₁ и Е ₃ расположены соответственно на осях x и z.

Точка К (x = 40, y = 25, z = 0) принадлежит плоскости p₁ и совпадает с горизонтальной проекцией К ₁, проекции К ₂ и К ₃ расположены соответственно на осях x и у.

Точка L (x = 0, y = 0, z = 40) расположена на оси z.

Рис. 2.8. Комплексный чертеж точек частного положения

Вопросы и задания для самоконтроля

1. Сколько проекций точки вполне определяют ее положение в пространстве?

2. Какая координата точки определяет ее расстояние:

а) до горизонтальной плоскости проекций p₁;

б) до фронтальной плоскости проекций p₂;

в) до профильной плоскости проекций p₃?

3. Выполнить комплексный чертеж точек и указать, в каком октанте они расположены:

а) A (x = 50, y = – 10, z = –30);

б) B (x = – 40, y = – 20, z = 35);

в) C (x = – 20, y = – 30, z = – 45);

г) D (x = – 30, y = 0, z = – 50);

д) E (x = 0, y = – 40, z = 25).