Общее уравнение плоскости

Ax+By+Cz+D=0,

при этом – вектор нормали (перпендикуляра) к плоскости.

Некоторые частные случаи общего уравнения плоскости:

1) плоскость, проходящая через начало координат

Ax+By+Cz=0 (D=0);

2) плоскость, параллельная оси Ox (Oy, Oz):

By+Cz+D=0 (Ax +Cz+D=0, Ax+By+D=0);

3) плоскость, параллельная плоскости Oxy (Oxz, Oyz);

Cz+D=0 (By +D=0, By +D=0);

4) плоскость Oxy (Oxz, Oyz):

z=0 (y=0, x=0).

Условие параллельности двух плоскостей

.

Условие перпендикулярности двух плоскостей

.

Пример. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M(1;-2;3) и:

а) перпендикулярной вектору ;

б) параллельной плоскости 3x-4y+5z+6=0;

в) точку и параллельной оси Oy.

Решение.

а) 3(x-1)-4(y+2)+5(z-3)=0 или 3x-4y+5z-26=0;

б) плоскость Ax+By+Cz+D=0 параллельна плоскости 3x-4y+5z+6=0, если

, при коэффициенте пропорциональности, равном 1, A=3, B=-4, C=5, тогда получим уравнение 3x-4y+5z+D=0;

D найдем, используя координаты точки M(1;-2;3):

3*1-4*(-2)+5*3+D=0, D=-26.

Окончательное уравнение 3x-4y+5z-26=0.

в) так как плоскость параллельна оси Oy, то в ее уравнении коэффициент В=0, т.е. уравнение плоскости имеет вид Ax+Cz+D=0. Используя координаты данных точек, получим:

, .

Окончательно: .

Различные виды уравнения прямой в пространстве

1) прямая как линия пересечения двух плоскостей

2) канонические уравнения прямой, проходящей через данную точку с направляющим вектором

3) уравнение прямой, проходящей через две данные точки и

.