Решение. а) Найдем обратную матрицу с помощью элементарных преобразований

а) Найдем обратную матрицу с помощью элементарных преобразований:

1) Для вычисления обратной матрицы запишем матрицу А, дописав к ней справа единичную матрицу:

2) Теперь чтобы найти обратную матрицу, используя элементарные преобразования над строками матрицы, преобразуем левую часть полученной матрицы в единичную.

1-ую строку делим на 4

3) От 2 строки отнимаем 1 строку, умноженную на 4; от 3 строки отнимаем 1 строку, умноженную на 4

4) От 1 строки отнимаем 2 строку, умноженную на 0.5; от 3 строки отнимаем 2 строку, умноженную на 2

5) 3-ую строку делим на 2

6) К 1 строке добавляем 3 строку, умноженную на 1.5; от 2 строки отнимаем 3 строку, умноженную на 5

7) Поскольку в левой части получилась единичная мат­рица. то в правой части — матрица, обратная к данной.

Сделаем проверку, перемножив исходную матрицу и полученную:

Так как произведение матриц равно единичной матрице, следовательно, обратная матрица найдена верно.

б) Найдем обратную матрицу по формуле

, где - транспонированная матрица алгебраических дополнений к элементам матрицы А.

1) Вычислим определитель исходной матрицы:

Тяк как , то матрица A - невырожденная, и для нее можно найти обратную матрицу A^-1.

Обратная матрица будет иметь следующий вид:

где A_ij - алгебраические дополнения.

Транспонированная матрица.

2) Находим алгебраические дополнения всех элементов матрицы:

∆_1,1=(3•16-9•4)=12

∆_1,2=-(2•16-4•4)=-16

∆_1,3=(2•9-4•3)=6

∆_2,1=-(4•16-9•4)=-28

∆_2,2=(4•16-4•4)=48

∆_2,3=-(4•9-4•4)=-20

∆_3,1=(4•4-3•4)=4

∆_3,2=-(4•4-2•4)=-8

∆_3,3=(4•3-2•4)=4

3) Вычисляем обратную матрицу:

Ответ: