Q M ℒ
Р
R(t)
Def (касательной). Прямая PQ к которой стремится секущая PH при H – P (по кривой) называется касательной к кривой в точке Р.
Теорема. Гладкая кривая (n=1) без особых точек имеет в любой точке Р касательную.
Замечание. Покажем, что вектор (вычисляемый в точке Р) является направляющим вектором …. к кривой ().
: и при , т. е. в силу дифференцируемости r(t) в т. Р () … предел и с другой стороны секущая при переходит в касательную.
Тогда (из аналитической геометрии) уравнения касательной к кривой
а) в векторно-параметрической форме: , – параметр
б) в параметрической форме: (т.к.
или
.
в) кривая заданная явным уравнением: y = f(x). Параметризуя это уравнение: и используя предыдущую формулу, получаем:
г) кривая задана неявным уравнением: F(x,y) =0. Из математического анализа: и подстав. в …
.
Нормаль к кривой
P |
O |
R |
N |
P |
r(t) |
O |
N |
Теорема сохраняется (см. выше)
а) в параметрической форме:
б) в векторно-параметрической форме:
в) явное задание кривой: из касательной
г) неявное задание кривой:
или
Таблица
Способ задания | Уравнение касательной | Уравнение нормали |
Параметрический: х = х(t) y = y(t) | ||
Явный: y = f(x) | ||
Неявный: F(x,y) =0 |
Пример. Составить уравнение касательной и нормали к линии:
в т. (1; 2)