Центральные и параллельные проекции

При центральном проецировании задают плоскость проекций и центр проекций S, т.е. точку не лежащую в плоскости проекций. Для проецирования произвольной точки A через нее и центр проводят прямую, которая называется проецируемой прямой. Точка пересечения этой прямой с плоскостью проекций и является центральной проекцией заданной точки A, а также точками и лежащими на проецирующей прямой. Если для некоторой точки D проецирующая прямая окажется параллельной плоскости проекций, то считают, что они пересекаются в бесконечно удаленной точке (рис. 1).

Рис. 1 Рис. 2

Для построения проекций линий, тел часто достаточно построить проекции лишь некоторых характерных точек (пример с треугольником, рис.2). Центральные проекции применяют для изображения предметов в перспективе. Изображения при центральном проецировании наглядны, но для технического черчения неудобны, так как не соблюдается метрика.

Параллельные проекции рассматривается как частный случай центральных проекций, при котором центр проекций удален в бесконечность . Для проведения параллельных проецирующих прямых указывается некоторое направление проецирования относительно плоскости проекций (ри.3 и 4). Построенные таким образом проекции называются параллельными.

Рис. 3 Рис. 4 Рис. 5

Прямоугольное проецирование является частным случаем параллельного проецирования, и его часто называют ортогональным проецированием. Прямоугольной проекцией точки называют основание перпендикуляра, проведенного из точки на плоскость проекции (рис.5).

Горизонтальной проекцией точки A называют прямоугольную проекцию этой точки на горизонтальной плоскости проекций ; фронтальной – на фронтальной плоскости проекций (рис.6). Проекции некоторой точки получаются расположенными на прямых, перпендикулярных к оси проекций и пересекающих эту ось в одной и той же точке. Две проекции точки вполне определяют ее положение в пространстве относительно данной системы плоскостей проекций. Повернув плоскость вокруг оси проекций на угол 90º, получим одну плоскость (рис.7) – плоскость чертежа: проекции и расположены на одном перпендикуляре к оси проекций – линии связи. В результате проведенного совмещения плоскостей и получим чертеж, известный под названием эпюр (Эпюр Монжа, 1799 г.) (рис.7).

Рис. 6 Рис. 7

На практике зачастую бывает недостаточно двух плоскостей проекций. Введем третью плоскость проекций , перпендикулярную к и , и называемую профильной. Получилась система трех плоскостей проекций , , . Точка в этой системе плоскостей проекций определяется тремя проекциями , , (рис.8).

Рис. 8 Рис.9 Рис.10

Прямые в пространстве могут быть пересекающимися, параллельными или скрещивающимися.

Если прямые пересекаются, то их одноименные проекции пересекаются между собой, а проекции точек пересечения лежат на одной линии связи (рис.9). Заключение о том, что данные на чертеже прямые пересекаются между собой можно сделать всегда по отношению к прямым общего положения, независимо от того, даны ли проекции на трех или на двух плоскостях проекций. На рис.10 пересекающие прямые лежат в плоскости перпендикулярной плоскости .

Если одна из данных прямых параллельна какой-нибудь из плоскостей проекции, а на чертеже не даны проекции на эту плоскость, то нельзя утверждать, что такие прямые пересекаются между собой, хотя точки пересечения одноименных проекций находятся на одном и том же перпендикуляре (линии связи) к соответствующей оси проекции (рис.11 и 12). На рис.11 прямые и пересекаются, так как , а на рис.12 – не пересекаются, так как

Рис. 11 Рис. 12

Если в пространстве прямые параллельны, то их одноименные проекции параллельны между собой. Заметим, что из параллельности проекций не всегда следует параллельность прямых. Для прямых общего положения известно, что если их одноименные проекции параллельны в системе двух плоскостей проекции, то прямые параллельны. Для прямых частного положения необходимо строить все три проекции (рис.13 и рис.14). Так, если одноименные проекции прямых параллельны одной из осей проекций, то прямые параллельны при условии параллельности одноименных проекций на той плоскости проекций, которой параллельны прямые.

Рис. 13 Рис. 14

Скрещивающиеся прямые не имеют общих точек, т.е. не пересекаются и не параллельны между собой. Наглядное изображение двух скрещивающихся прямых и приведено на рис.15, а их чертеж – на рис.16. Одноименные проекции скрещивающихся прямых не лежат на одной линии связи.

Какая из изображенных на чертеже прямых выше другой или ближе к наблюдателю? Это вопрос о видимости точек. Если смотреть сверху по стрелке N, то точка L, принадлежащая АВ, закрывает точку K, поэтому горизонтальная проекция точки K записана в скобках. Следовательно, фронтальная проекция выше фронтальной проекции . При взгляде спереди по стрелке М точка 1, принадлежащая АВ находится ближе к наблюдателю и поэтому она закрывает точку 2, принадлежащую CD фронтальная проекция указана в скобках.

Рис. 15 Рис. 16