Произвольные системы линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли

Пусть дана система m линейных уравнений с nнеизвестными общего вида

(*)

Или в матричной форме, AX=b,

Где А = – матрица системы, размера mxn,

X = – матрица-столбец неизвестных,

B = – матрица-столбец свободных членов данной системы.

Определение 1. Решением системы называется такая совокупность n чисел , , …, , что при подстановке их во все уравнения системы вместо соответствующих неизвестных получаются числовые тождества.

Определение 2. Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной; система, имеющая ни одного решения - несовместной.

Определение 3. Система, имеющая единственное решение, называется определенной; система, имеющая более одного решения - неопределенной.

Определение 4. Две системы называются эквивалентными, если множества их решений совпадают.

Определение 5. Матрица (Alb) = ,

Получаемая из матрицы А системы добавлением столбца свободных членов, называется расширенной матрицей.

Теорема 1. Для того, чтобы система (*) была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу расширенной матрицы, т.е.

r(A)=(Alb).

Иначе, 1) r(A) r(Alb) система несовместна,

2)r(A)= r(Alb) система совместна,

3) r(A)= r(Alb) = n система определенна,

4) r(A)= r(Alb) n система неопределенна.

Алгоритм исследования произвольных система линейных уравнений методов Гаусса.

1) Сначала расширенная матрица (Alb) приводится с помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду и матрица А системы (*));

2) затем находятся числа r(A), r(Alb) и n (n- число неизвестных системы);

3) проводится исследование системы согласно теоремы Кронекера-Капелли.

Пример 2. Исследовать систему.

Решение.

= (2)-5(1) (3)-(1) (3)-3(2)

(3)

r(A)=3, r(Alb)=3, n=3.

Отве: система совместна и имеет единственное решение.